Regression und Interplolation
Der erste Abschnitt beschreibt, was Regression und Interpolation ist und wie Regressionsfunktionen mit dem Taschenrechner berechnet werden.
Regression
Bei der Regression wird eine Funktiongleichung bestimmt, welche gut zu den gegebenen Punkten passt. Nimmt man beispielsweise eine Reihe von Messwerten auf und es ist nicht klar in welchem Zusammenhang diese stehen, ist es nötig durch "Rückwärtsrechnen" eine Funktion zu bestimmen, die allen Punkten "möglichst nahe kommt". Die Aufgabenstellung ist also auch mit der Problematik der Interpolation verwandt, allerdings verlangt man bei der Regression oft zusätzlich, dass die unbekannte Funktion bestimmte Eigenschaften (z.B. Grad $\leq 1$) haben soll und die Funktion muss nicht durch alle Punkte gehen. Hierzu ist es besonders nützlich die Methode der kleinsten Quadrate zu kennen. Sie verwendet die Fehlerquadratssumme als Bewertungskriterium.
Merke
Seien n Punkte $\{P_i (x_i, y_i), 1 \leq i \leq n\}$ und eine Funktion $g(x)$ gegeben. Dann ist die Summe der Fehlerquadrate $s_g = \sum_{i=1}^n(g(x_i)-y_i)^2$, das zur Methode der kleinsten Quadrate passende Kriterium.
Ist eine Gerade gesucht, ergeben sich nach kurzer Rechnung die Formeln $m=\frac{n \sum^n_{i=1} x_i y_i - \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n y_i}{n \sum_{i=1}^n x_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2}$ und $n= \frac{ \sum^n_{i=1} x_i^2 \sum^n_{i=1} y_i - \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n x_i y_i}{n \sum_{i=1}^n x_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2}$.
Regression mithilfe des Taschenrechners
Im Abitur wird die Regression meist mit dem Taschenrechner durchgeführt. Die x- und die y-Werte werden in zwei Listen im Statistikmenü des Taschenrechners eingegeben. Dann wird die Regressionsfunktion, die verwendet werden soll (linear, quadratisch, exponentiell, e-Funktion, 3. Grades, 4. Grades, logistisch) ausgewählt.
Es wird der Typ der Funktionsgleichung angezeigt und die Zahlen für die entsprechenden Parameter.
Dabei sind r der Korrelationskoeffizient, r² das Bestimmheitsmass, MSe der Mittlerer quadratischer Fehler.
Je näher r² an 1 ist, um so besser ist die Regression. Ist r²=1 dann liegen alle Messpunkte auf der Regressionsfunktion.
Interpolation
Die Interpolation ist ein Verfahren, mit dem Funktionswerte von unbekannten Funktionen approximiert (näherungsweise berechnet) werden können. Eine Interpolationfunktion geht im Unterschied zu einer Regressionsfunktion durch alle gegebenen Punkte. Da n+1 verschiedene Punkte genügen um ein Polynom n-ten Grades eindeutig zu bestimmen, dass durch alle Punkte verläuft, verwendet man häufig folgenden Algorithmus um das Interpolationspolynom aufzustellen.
Methode
Gegeben sind n+1 Stützstellen $\{x_0, x_1, x_2, \dots, x_n\}$ und n+1 Stützwerte \{f(x_0), f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_n) \}.
Gesucht ist $f(x_m)$, wobei f unbekannt und $x_m$ keine Stützstelle ist.
- Das gesuchte Polynom p hat die Form $p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i$.
- Dadurch erhält man ein lineares Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen. Alle Zeilen haben dieselbe Form: $f(x_j) = \sum_{i=0}^n a_i x^i_j$ mit $0 \leq j \leq n$.
- Dieses LGS lässt sich nun mit den bekannten Methoden lösen und liefert die Koeffizienten von p. Eine Auswertung $p(x_m)$ ergibt den gesuchten Wert.
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