Was ist die Ableitung?
Bestimmt man in jedem Punkt einer Funktion die Steigung der Tangente, ergibt sich eine neue Funktion, die Tangentensteigungsfunktion bzw. die Ableitung.
Im folgenden Applet wird das sehr deutlich. An dem dargestellten Punkt A auf dem Graphen wird die Tangente mit dem dazugehörigen Steigungsdreieck gezeichnet sowie die Steigung der Tangente berechnet. Diese berechnete Tangentensteigung ist die y-Koordinate des dazugehörigenden Punktes der Steigungsfunktion der nun blau gezeichnet wird.
Wenn man den Punkt A nun bewegt, wird zu diesem Punkt A des Ausgangsgraphen die Tangentensteigung berechnet und in das Koordinatensystem eingezeichnet. Alle Punkte zusammengesetzt ergeben den Ableitungsgraphen. In diesem Fall eine quadratische Funktion.
Merke
Bei rationalen Funktionen ($x^n$, n ist eine ganze Zahl) ist die Ableitung einer Funktion immer ein Grad tiefer als die Ausgangsfunktion.
So wird z.B. aus einer Funktion 3. Grades (x³) eine Ableitungsfunktion 2. Grades (x²).
Um Funktionen abzuleiten, gibt es verschiedene Regel, die nacheinander erläutert werden.
- Potenzregel,
- Faktorregel,
- Summenregel,
- Produktregel,
- Quotientenregel und
- Kettenregel.
Merke
Folgende Begriffe können synonym verwendet werden:
Ableitung – Tangentensteigung – momentane Änderungsrate – punktuelle Zuwachsrate – Momentangeschwindigkeit (wenn x die Zeit ist)
Sekantensteigung – durchschnittliche Änderungsrate - durchschnittliche Zuwachsrate, Durchschnittsgeschwindigkeit (wenn x die Zeit ist)
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