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Bestimmt man in jedem Punkt einer Funktion die Steigung der Tangente, ergibt sich eine neue Funktion, die Tangentensteigungsfunktion bzw. die Ableitung.

Im folgenden Applet wird das sehr deutlich. An dem dargestellten Punkt A auf dem Graphen wird die Tangente mit dem dazugehörigen Steigungsdreieck gezeichnet sowie die Steigung der Tangente berechnet. Diese berechnete Tangentensteigung ist die y-Koordinate des dazugehörigenden Punktes der Steigungsfunktion der nun blau gezeichnet wird.

Wenn man den Punkt A nun bewegt, wird zu diesem Punkt A des Ausgangsgraphen die Tangentensteigung berechnet und in das Koordinatensystem eingezeichnet. Alle Punkte zusammengesetzt ergeben den Ableitungsgraphen. In diesem Fall eine quadratische Funktion.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.

Merke

Es gelten folgende allgemeine Ableitungsregeln:
Bei rationalen Funktionen ($x^n$, n ist eine ganze Zahl) ist die Ableitung einer Funktion immer ein Grad tiefer als die Ausgangsfunktion.
So wird z.B. aus einer Funktion 3. Grades (x³) eine Ableitungsfunktion 2. Grades (x²).

 Um Funktionen abzuleiten, gibt es verschiedene Regel, die nacheinander erläutert werden.

  • Potenzregel,
  • Faktorregel,
  • Summenregel,
  • Produktregel,
  • Quotientenregel und
  • Kettenregel.

Merke

In der Oberstufe werden Steigungen fast immer über die Ableitung berechnet, nicht mehr über das Steigungsdreieck, da die zu berechnenden Steigungen die momentanen und nicht die durchschnittlichen Steigungen sind.

Folgende Begriffe können synonym verwendet werden:

Ableitung – Tangentensteigung – momentane Änderungsrate – punktuelle Zuwachsrate – Momentangeschwindigkeit (wenn x die Zeit ist)

Sekantensteigung – durchschnittliche Änderungsrate - durchschnittliche Zuwachsrate, Durchschnittsgeschwindigkeit (wenn x die Zeit ist)

Multiple-Choice
Welchen Grad hat die Ableitungsfunktion?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Was ist die Ableitung? ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
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    • Definitionsbereich
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      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
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      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
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    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
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    • Funktionsuntersuchung im Abitur
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    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
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        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
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      • kubische Funktionenschar
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        • Extrempunkte kubische Schar
        • Wendepunkte kubische Schar
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  • Gute Bewertung für Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
    "Einfach genial! Gut und verständlich erklärt (auf den Punkt gebracht)"

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