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Graphen ableiten

Verständnis der Ableitung / Die graphische Ableitung

Ausgangspunkt des graphischen Ableitens ist der Graph einer Funktion f(x) oder der Graph einer Ableitungsfunktion f’(x) oder f’’(x). Am effektivsten gehst du nach folgenden drei Punkten vor:

1. Zeichne unter den Graphen der Funktion ein Koordinatensystem

Zeichne unter den Graphen der Funktion, ein Koordinatensystem, so dass die x-Achsen genau untereinander sind, bezeichnen Sie die besonderen Punkte Maximum, Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt und ziehen Sie dann senkrechte Linien nach unten.

Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragen
Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum und Maximum abtragen

Alle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT´s) wie

  • Maximum und
  • Sattelpunkt

enden auf der x-Achse, da die Ableitung dort eine Nullstelle hat.

2. Zeichne nun die Ableitungen der verschiedenen Arten der PWT's und der Wendepunkte ein

Punkte mit waagerechter Tangente und Wendepunkte
Punkte mit waagerechter Tangente und Wendepunkte


Minimum: Nullstelle mit VZW -+ (ansteigend) Punkte waagerechter Tangente

Maximum          -> Nullstelle mit VZW +- (abfallend)
R-L-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW ++ (Minimum)
L-R-Sattelpunkt  -> Nullstelle mit VZW -- (Maximum)

R-L-Wendepunkte

R-L-Sattelpunkt -> Minimum auf der x-Achse (Nullstelle)
R-L-Wendepunkt negative Steigung -> Minimum im Negativen
R-L-Wendepunkt positive Steigung -> Minimum im Positiven

L-R-Wendepunkte

L-R-Sattelpunkt -> Maximum auf der x-Achse (Nullstelle)
L-R-Wendepunkt  negative Steigung -> Maximum im Negativen
L-R-Wendepunkt positive Steigung -> Maximum im Positiven

Es ergibt sich ein schon fast fertiger Graph.

3. Verbinde nun die Stücken, um den Ableitungsgraphen zu erhalten.

Ermittlung des Ableitungsgraphen
Ermittlung des Ableitungsgraphen

Das rechte Maximum ist etwas höher, da die Steigung des rechten Wendepunktes etwas höher ist.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
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      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
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    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
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        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
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      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
        • Extrempunkte kubische Schar
        • Wendepunkte kubische Schar
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar
        • Graph kubische Schar
        • Ortslinie der Extrempunkte
  • Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Ableitung der e-Funktion
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      • Einleitung zu Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
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        • Einleitung zu komplexe e-Funktion
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        • Wendepunkte komplexe e-Funktion
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie komplexe e-Funktion
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      • Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
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      • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
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