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Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
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  • original Abituraufgaben

1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe

Differentialrechnung
Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben

Beispiel

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Aufgabenstellung

Ermitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei  (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.

Aufstellen der Bedingungen

einen Wendepunkt bei  (2/4) -> f(2)=4 und f´´(2)=0

an der Stelle 1 eine Steigung von 11 -> f´(1)=11

Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung

Hier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.

$f(x)=ax^4+bx^2+c$

$f´(x)=4ax^3+2bx$

$f´´(x)=12ax^2+2b$

Aufstellen der Bedingungsgleichungen und LGS

BedingungBedingungsgleichung
f(2)=4$a2^4+b2^2+c=4$
f´´(2)=0$12a2^2+2b=0$
f´(1)=11$4a1^3+2b1=11$

Daraus ergibt sich folgendes LGS:

I   16a+4b+c=4

II  48a+2b=0

III 4a+2b=11

Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)

Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.

Hinweis

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II                      48a+2b=0

III*-12             -48a-24b=132

II+III*-12=IV     0a-22b=132

IV nach b auflösen

-22b=132  /:-22

b=6

Hinweis

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b in II einsetzen und nach a auflösen

48a+12=0   /-12

48a=-12    /48

$a=-\frac{12}{48}=-\frac{1}{4}$

Hinweis

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b und a in I einsetzen und nach c auflösen

16a+4b+c=4

-4+24+c=4   /-20

c=-16

Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung

Lösung des LGS: $a=-\frac{1}{4}$, b=6 und c=-16

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=-\frac{1}{4}x^4+6x^2-16$

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 43
  • 13
  • 56
  • 28