1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
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Beispiel
Aufgabenstellung
Ermitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.
Aufstellen der Bedingungen
einen Wendepunkt bei (2/4) -> f(2)=4 und f´´(2)=0
an der Stelle 1 eine Steigung von 11 -> f´(1)=11
Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung
Hier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.
$f(x)=ax^4+bx^2+c$
$f´(x)=4ax^3+2bx$
$f´´(x)=12ax^2+2b$
Aufstellen der Bedingungsgleichungen und LGS
| Bedingung | Bedingungsgleichung |
| f(2)=4 | $a2^4+b2^2+c=4$ |
| f´´(2)=0 | $12a2^2+2b=0$ |
| f´(1)=11 | $4a1^3+2b1=11$ |
Daraus ergibt sich folgendes LGS:
I 16a+4b+c=4
II 48a+2b=0
III 4a+2b=11
Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)
Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.
Hinweis
II 48a+2b=0
III*-12 -48a-24b=132
II+III*-12=IV 0a-22b=132
IV nach b auflösen
-22b=132 /:-22
b=6
Hinweis
b in II einsetzen und nach a auflösen
48a+12=0 /-12
48a=-12 /48
$a=-\frac{12}{48}=-\frac{1}{4}$
Hinweis
b und a in I einsetzen und nach c auflösen
16a+4b+c=4
-4+24+c=4 /-20
c=-16
Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung
Lösung des LGS: $a=-\frac{1}{4}$, b=6 und c=-16
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=-\frac{1}{4}x^4+6x^2-16$
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