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1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe

Differentialrechnung
Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben

Beispiel

Aufgabenstellung

Ermitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei  (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.

Aufstellen der Bedingungen

einen Wendepunkt bei  (2/4) -> f(2)=4 und f´´(2)=0

an der Stelle 1 eine Steigung von 11 -> f´(1)=11

Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung

Hier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.

$f(x)=ax^4+bx^2+c$

$f´(x)=4ax^3+2bx$

$f´´(x)=12ax^2+2b$

Aufstellen der Bedingungsgleichungen und LGS

Bedingung Bedingungsgleichung
f(2)=4 $a2^4+b2^2+c=4$
f´´(2)=0 $12a2^2+2b=0$
f´(1)=11 $4a1^3+2b1=11$

Daraus ergibt sich folgendes LGS:

I   16a+4b+c=4

II  48a+2b=0

III 4a+2b=11

Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)

Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.

Gut zu wissen

II                      48a+2b=0

III*-12             -48a-24b=132

II+III*-12=IV     0a-22b=132

IV nach b auflösen

-22b=132  /:-22

b=6

Gut zu wissen

b in II einsetzen und nach a auflösen

48a+12=0   /-12

48a=-12    /48

$a=-\frac{12}{48}=-\frac{1}{4}$

Gut zu wissen

b und a in I einsetzen und nach c auflösen

16a+4b+c=4

-4+24+c=4   /-20

c=-16

Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung

Lösung des LGS: $a=-\frac{1}{4}$, b=6 und c=-16

Die Funktionsgleichung lautet damit:

$f(x)=-\frac{1}{4}x^4+6x^2-16$

Multiple-Choice
Die Funktionsgleichung lautet
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und die Bedingung f´(2)=3.
Wie lautet die Bedingungsgleichung?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
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      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
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        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
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        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
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      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
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      • Logistisches Wachstum - Approximation
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  • Miriam

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    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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