1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben
Beispiel
Aufgabenstellung
Ermitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.
Aufstellen der Bedingungen
einen Wendepunkt bei (2/4) -> f(2)=4 und f´´(2)=0
an der Stelle 1 eine Steigung von 11 -> f´(1)=11
Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung
Hier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.
$f(x)=ax^4+bx^2+c$
$f´(x)=4ax^3+2bx$
$f´´(x)=12ax^2+2b$
Aufstellen der Bedingungsgleichungen und LGS
| Bedingung | Bedingungsgleichung |
| f(2)=4 | $a2^4+b2^2+c=4$ |
| f´´(2)=0 | $12a2^2+2b=0$ |
| f´(1)=11 | $4a1^3+2b1=11$ |
Daraus ergibt sich folgendes LGS:
I 16a+4b+c=4
II 48a+2b=0
III 4a+2b=11
Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)
Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.
Hinweis
II 48a+2b=0
III*-12 -48a-24b=132
II+III*-12=IV 0a-22b=132
IV nach b auflösen
-22b=132 /:-22
b=6
Hinweis
b in II einsetzen und nach a auflösen
48a+12=0 /-12
48a=-12 /48
$a=-\frac{12}{48}=-\frac{1}{4}$
Hinweis
b und a in I einsetzen und nach c auflösen
16a+4b+c=4
-4+24+c=4 /-20
c=-16
Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung
Lösung des LGS: $a=-\frac{1}{4}$, b=6 und c=-16
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=-\frac{1}{4}x^4+6x^2-16$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und die Bedingung f(2)=3.
Wie lautet die Bedingungsgleichung?
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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