2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben
Beispiel
Aufgabenstellung
Die Funktion soll an der Stelle x=-1 einen Sattelpunkt haben und am Punkt (3/5) eine waagerechte Tangente.
Aufstellen der Bedingungen
Für diese Funktion müssen die gegebenen Bedingungen aufgestellt werden:
Sattelpunkt bei x=-1 -> f´(-1)=0 und f´´(-1)=0
waagerechte Tangente bei (3/5) -> f´(3)=0 und f(3)=5
Es gibt also 4 Bedingungen, so dass eine Funktion 3. Grades aufgestellt werden muss.
Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung
Für eine Funktion 3. Grades lautet die Funktion und die Ableitungen:
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f´(x)=3ax^2+2bx+c$
$f´´(x)=6ax+2b$
Aufstellen der Bedingungsgleichungen und LGS
| Bedingung | Bedingungsgleichung |
| f´(-1)=0 | $3a(-1)^2+2b(-1)+c=0$ |
| f´´(-1)=0 | $6a(-1)+2b=0$ |
| f´(3)=0 | $3a3^2+2b3+c=0$ |
| f(3)=5 | $a3^3+b3^2+c3+d=5$ |
Daraus ergibt sich folgendes LGS:
I 3a-2b+c=0
II -6a+2b=0
III 27a+6b+c=0
IV 27a+9b+3c+d=5
Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)
Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.
Lösung mit dem CasioClassPad 330:
Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung
Lösung des LGS: a=0, b=0, c=0, d=5
Die Funktionsgleichung lautet damit: f(x)=5
Dies Funktion erfüllt zwar formal alle mathematischen Bedingungen, aber nicht die in der Aufgabenstellung gegebenen, wie einen Sattelpunkt.
Daher gibt es keine Funktion, die die Anforderungen erfüllt.
Dieses Dokument 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).
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