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2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe

Differentialrechnung
Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben

Beispiel

Aufgabenstellung

Die Funktion soll an der Stelle x=-1 einen Sattelpunkt haben und am Punkt (3/5) eine waagerechte Tangente.

Aufstellen der Bedingungen

Für diese Funktion müssen die gegebenen Bedingungen aufgestellt werden:

Sattelpunkt bei x=-1                 ->    f´(-1)=0 und f´´(-1)=0

waagerechte Tangente bei (3/5) ->    f´(3)=0 und f(3)=5

Es gibt also 4 Bedingungen, so dass eine Funktion 3. Grades aufgestellt werden muss.

Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung

Für eine Funktion 3. Grades lautet die Funktion und die Ableitungen:

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$f´(x)=3ax^2+2bx+c$

$f´´(x)=6ax+2b$

Aufstellen der Bedingungsgleichungen und LGS

Bedingung Bedingungsgleichung
f´(-1)=0 $3a(-1)^2+2b(-1)+c=0$
f´´(-1)=0 $6a(-1)+2b=0$
f´(3)=0 $3a3^2+2b3+c=0$
f(3)=5 $a3^3+b3^2+c3+d=5$

Daraus ergibt sich folgendes LGS:

I   3a-2b+c=0

II  -6a+2b=0

III 27a+6b+c=0

IV  27a+9b+3c+d=5

Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)

Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.

Lösung mit dem CasioClassPad 330:

Lösung mit dem CasioClassPad 330
Lösung mit dem CasioClassPad 330

Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung

Lösung des LGS: a=0, b=0, c=0, d=5

Die Funktionsgleichung lautet damit:  f(x)=5

Dies Funktion erfüllt zwar formal alle mathematischen Bedingungen, aber nicht die in der Aufgabenstellung gegebenen, wie einen Sattelpunkt.

Daher gibt es keine Funktion, die die Anforderungen erfüllt.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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