2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
Bestimmen von Funktionsgleichungen / Steckbriefaufgaben
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Beispiel
Aufgabenstellung
Die Funktion soll an der Stelle x=-1 einen Sattelpunkt haben und am Punkt (3/5) eine waagerechte Tangente.
Aufstellen der Bedingungen
Für diese Funktion müssen die gegebenen Bedingungen aufgestellt werden:
Sattelpunkt bei x=-1 -> f´(-1)=0 und f´´(-1)=0
waagerechte Tangente bei (3/5) -> f´(3)=0 und f(3)=5
Es gibt also 4 Bedingungen, so dass eine Funktion 3. Grades aufgestellt werden muss.
Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. Ableitung
Für eine Funktion 3. Grades lautet die Funktion und die Ableitungen:
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f´(x)=3ax^2+2bx+c$
$f´´(x)=6ax+2b$
Aufstellen der Bedingungsgleichungen und LGS
| Bedingung | Bedingungsgleichung |
| f´(-1)=0 | $3a(-1)^2+2b(-1)+c=0$ |
| f´´(-1)=0 | $6a(-1)+2b=0$ |
| f´(3)=0 | $3a3^2+2b3+c=0$ |
| f(3)=5 | $a3^3+b3^2+c3+d=5$ |
Daraus ergibt sich folgendes LGS:
I 3a-2b+c=0
II -6a+2b=0
III 27a+6b+c=0
IV 27a+9b+3c+d=5
Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)
Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.
Lösung mit dem CasioClassPad 330:
Einsetzen der Parameter in die Funktionsgleichung
Lösung des LGS: a=0, b=0, c=0, d=5
Die Funktionsgleichung lautet damit: f(x)=5
Dies Funktion erfüllt zwar formal alle mathematischen Bedingungen, aber nicht die in der Aufgabenstellung gegebenen, wie einen Sattelpunkt.
Daher gibt es keine Funktion, die die Anforderungen erfüllt.
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