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Beispiel einer Trassierung

Differentialrechnung / Bestimmen von Funktionsgleichungen / Trassierung

Beispiel

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Bestimmen Sie eine Funktion für den Straßenverlauf zwischen den Punkten P und Q, die eine Verbindung ohne Knick und Krümmungsruck beschreibt.

Beispiel einer Trassierung

Mit dem zuvor erlernten Vorgehen lässt sich diese Trassierungsaufgabe lösen.

Analyse der Aufgabenstellung

Zu Beginn wird die Aufgabenstellung sorgfältig gelesen, um herauszufinden welchen Grad die Funktion haben muss.

In diesem Text steht "ohne Knick und Krümmungsruck". Das Wort ohne Sprung fehlt zwar wird aber immer vorausgesetzt. Der wird hier eine Funktion 5. Grades gesucht.

$f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$

Aufstellen der Funktionsgleichung sowie der 1. und 2. Ableitung

Die gesuchte Funktion ist vom Grad 5 und so muss die allgemeine Funktionsgleichung sowie die 1. und 2. Ableitung aufgestellt werden:

Funktion:           $f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$

1. Ableitung:     $f´(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e$

2. Ableitung:      $f(x)=20ax^3+12bx^2+6cx+2d$

Aufstellung der Bedingungen

Die beiden Nahtstellen sind u=0 und w=2. Für beide Nahtstellen/Anschlussstellen u und w müssen die entsprechenden Bedingungen aufgestellt werden:

Beispiel

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ohne Sprung                     g(0)=0=f(0) und h(2)=3=f(2)        

0 bzw. 3 sind die y-Werte der Punkte P und Q.           

Beispiel

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ohne Knick                        g´(0)=0=f´(0) und h´(2)=0,5=f´(2)                 

0 bzw. 0,5 sind die Steigungen der Tangente an den Punkten P und Q   

Beispiel

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ohne Krümmungsruck     g´´(0)=0=f´´(0) und h´´(2)=0=f´´(0)  

g(x) und h(x) sind lineare Funktionen, daher ist die Krümmung überall 0.

Aufstellung der Bedingungsgleichungen

Durch Einsetzen von u=0 und w=2 in die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen und gleichsetzen mit g(u), h(w) usw.  entsteht ein lineares Gleichungssystem der Bedingungsgleichungen.

BedingungBedingungsgleichungVereinfachung
f(0)=0$a0^5+b0^4+c0^3+d0^2+e0+f=0$f=0
f(2)=3$a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$$a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$
f´(0)=0$5a0^4+4b0^3+3c0^2+2d0+e=0$e=0
f´(2)=0,5 $5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$$5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$
f´´(0)=0$20a0^3+12b0^2+6c0+2d=0$d=0
f´´(2)=0$20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$$20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$

Lösen des Gleichungssystems

Dieses entstandene lineare Gleichungssystem wird in den Taschenrechner eingegeben und gelöst.

Um das Gleichungssystem ohne TR zu lösen, werden die Gleichungen weiter aufgelöst und ineinander eingesetzt:

Fest steht ja schon dass f=0, e=0 und d= 0 ist.

Die drei verbleibenden Gleichungen lauten:

I     32a+16b+8c=3

II    80a+32b+12c=0,5

III   160a+48b+12c=0

Diese drei Gleichungen können jetzt mit dem Additionsverfahren gelöst werden.

Beispiel

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II *-2             -160a-64b-24c=-1
III                   160a+48b+12c=0
II*-2+III=IV     0a -16b-12c=-1

Beispiel

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I *-5             -160a-80b-40c=-15
III                   160a+48b+12c=0
I*-5+III=V     0a -32b-28c=-15

Beispiel

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IV*-2                +32b+24c=2
V                       -32b-28c=-15
IV*-2+V=VI           0b-4c=-13

Die Gleichung VI kann jetzt nach c aufgelöst werden. $c=\frac{13}{4}$

Beispiel

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c wird nun in Gleichung V eingesetzt und die Gleichung nach b aufgelöst.
$-32b-28\cdot \frac{13}{4}=-15$   /   Kürzen und zusammenfassen
$-32b-91=-15$                             /+91
$-32b=76 $                                     /:-32
$b= -\frac{76}{32}=-\frac{19}{8}$          / Kürzen!

Beispiel

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c und b werden nun in Gleichung I eingesetzt und nach a aufgelöst.
32a+16b+8c=3
$32a+16\cdot -\frac{19}{8}+8\cdot \frac{13}{4}=3$     /Kürzen und zusammenfassen
$32a-38+26=3$                                            /zusammenfassen
$32a-12=3$                                                 /+12
$32a=15$                                                    /:32
$a=\frac{15}{32}$

Die Ergebnisse lauten: $a=\frac{15}{32}$, $b=-\frac{19}{8}$, $c=\frac{13}{4}$, d=0, e=0, f=0

Ergebnis

Jetzt werden alle Parameter in die Funktionsgleichung eingesetzt:

$f(x)=\frac{15}{32}x^5+-\frac{19}{8}x^4+\frac{13}{4}x^3+0x^2+0x+0$

Beispiel

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Funktionsgleichung der Verbindungsstrasse lautet:

$f(x)=\frac{15}{32}x^5+-\frac{19}{8}x^4+\frac{13}{4}x^3$

image
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
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        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
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        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
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        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
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    • Einleitung zu Integralrechnung
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    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
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