Beispiel einer Trassierung
Beispiel
Bestimmen Sie eine Funktion für den Straßenverlauf zwischen den Punkten P und Q, die eine Verbindung ohne Knick und Krümmungsruck beschreibt.
Mit dem zuvor erlernten Vorgehen lässt sich diese Trassierungsaufgabe lösen.
Analyse der Aufgabenstellung
Zu Beginn wird die Aufgabenstellung sorgfältig gelesen, um herauszufinden welchen Grad die Funktion haben muss.
In diesem Text steht "ohne Knick und Krümmungsruck". Das Wort ohne Sprung fehlt zwar wird aber immer vorausgesetzt. Der wird hier eine Funktion 5. Grades gesucht.
$f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$
Aufstellen der Funktionsgleichung sowie der 1. und 2. Ableitung
Die gesuchte Funktion ist vom Grad 5 und so muss die allgemeine Funktionsgleichung sowie die 1. und 2. Ableitung aufgestellt werden:
Funktion: $f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$
1. Ableitung: $f´(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e$
2. Ableitung: $f(x)=20ax^3+12bx^2+6cx+2d$
Aufstellung der Bedingungen
Die beiden Nahtstellen sind u=0 und w=2. Für beide Nahtstellen/Anschlussstellen u und w müssen die entsprechenden Bedingungen aufgestellt werden:
Beispiel
ohne Sprung g(0)=0=f(0) und h(2)=3=f(2)
0 bzw. 3 sind die y-Werte der Punkte P und Q.
Beispiel
ohne Knick g´(0)=0=f´(0) und h´(2)=0,5=f´(2)
0 bzw. 0,5 sind die Steigungen der Tangente an den Punkten P und Q
Beispiel
ohne Krümmungsruck g´´(0)=0=f´´(0) und h´´(2)=0=f´´(0)
g(x) und h(x) sind lineare Funktionen, daher ist die Krümmung überall 0.
Aufstellung der Bedingungsgleichungen
Durch Einsetzen von u=0 und w=2 in die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen und gleichsetzen mit g(u), h(w) usw. entsteht ein lineares Gleichungssystem der Bedingungsgleichungen.
| Bedingung | Bedingungsgleichung | Vereinfachung |
| f(0)=0 | $a0^5+b0^4+c0^3+d0^2+e0+f=0$ | f=0 |
| f(2)=3 | $a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$ | $a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$ |
| f´(0)=0 | $5a0^4+4b0^3+3c0^2+2d0+e=0$ | e=0 |
| f´(2)=0,5 | $5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$ | $5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$ |
| f´´(0)=0 | $20a0^3+12b0^2+6c0+2d=0$ | d=0 |
| f´´(2)=0 | $20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$ | $20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$ |
Lösen des Gleichungssystems
Dieses entstandene lineare Gleichungssystem wird in den Taschenrechner eingegeben und gelöst.
Um das Gleichungssystem ohne TR zu lösen, werden die Gleichungen weiter aufgelöst und ineinander eingesetzt:
Fest steht ja schon dass f=0, e=0 und d= 0 ist.
Die drei verbleibenden Gleichungen lauten:
I 32a+16b+8c=3
II 80a+32b+12c=0,5
III 160a+48b+12c=0
Diese drei Gleichungen können jetzt mit dem Additionsverfahren gelöst werden.
Beispiel
II *-2 -160a-64b-24c=-1
III 160a+48b+12c=0
II*-2+III=IV 0a -16b-12c=-1
Beispiel
I *-5 -160a-80b-40c=-15
III 160a+48b+12c=0
I*-5+III=V 0a -32b-28c=-15
Beispiel
IV*-2 +32b+24c=2
V -32b-28c=-15
IV*-2+V=VI 0b-4c=-13
Die Gleichung VI kann jetzt nach c aufgelöst werden. $c=\frac{13}{4}$
Beispiel
c wird nun in Gleichung V eingesetzt und die Gleichung nach b aufgelöst.
$-32b-28\cdot \frac{13}{4}=-15$ / Kürzen und zusammenfassen
$-32b-91=-15$ /+91
$-32b=76 $ /:-32
$b= -\frac{76}{32}=-\frac{19}{8}$ / Kürzen!
Beispiel
c und b werden nun in Gleichung I eingesetzt und nach a aufgelöst.
32a+16b+8c=3
$32a+16\cdot -\frac{19}{8}+8\cdot \frac{13}{4}=3$ /Kürzen und zusammenfassen
$32a-38+26=3$ /zusammenfassen
$32a-12=3$ /+12
$32a=15$ /:32
$a=\frac{15}{32}$
Die Ergebnisse lauten: $a=\frac{15}{32}$, $b=-\frac{19}{8}$, $c=\frac{13}{4}$, d=0, e=0, f=0
Ergebnis
Jetzt werden alle Parameter in die Funktionsgleichung eingesetzt:
$f(x)=\frac{15}{32}x^5+-\frac{19}{8}x^4+\frac{13}{4}x^3+0x^2+0x+0$
Beispiel
Funktionsgleichung der Verbindungsstrasse lautet:
$f(x)=\frac{15}{32}x^5+-\frac{19}{8}x^4+\frac{13}{4}x^3$
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