Vorgehen bei der Trassierung
Terminankündigung:Am 03.04.2023 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Um eine Trassierungsaufgabe zu lösen, sind verschiedene Schritte nötig. Das Vorgehen wird hier vorgestellt:
Analyse der Aufgabenstellung
Zu Beginn wird die Aufgabenstellung sorgfältig gelesen, um herauszufinden welchen Grad die Funktion haben muss.
Merke
- Treten nur die Begriffe ohne Sprung und ohne Knick / knickfrei auf hat die gesuchte Funktion den Grad 3.
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ - Tritt zusätzlich der Begriff krümmungsruckfrei auf hat die gesuchte Funktion den Grad 5.
$f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ - andere Fälle treten nicht auf.
Aufstellen der Funktionsgleichung sowie der 1. und 2. Ableitung
Ist die gesuchte Funktion vom Grad 3 muss die allgemeine Funktionsgleichung sowie die 1. Ableitung aufgestellt werden:
Funktion: $ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
1. Ableitung: $ f´(x)=3ax^2+2bx+c$
Ist die gesuchte Funktion vom Grad 5 muss die allgemeine Funktionsgleichung sowie die 1. und 2. Ableitung aufgestellt werden:
Funktion: $f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$
1. Ableitung: $f´(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e$
2. Ableitung: $f(x)=20ax^3+12bx^2+6cx+2d$
Aufstellung der Bedingungen
Für jede Nahtstelle/Anschlussstelle u und w müssen die entsprechenden Bedingungen aufgestellt werden:
ohne Sprung g(u)=f(u) und h(w)=f(w)
ohne Knick g´(u)=f´(u) und h´(w)=f´(w)
ohne Krümmungsruck g´´(u)=f´´(u) und h´´(w)=f´´(w)
(nur für die Funktion 5. Grades notwendig)
g(u), g´(u), g´´(u) und h(w), h´(w), h´´(w) sind in der Aufgabenstellung gegeben bzw. ihr auf geeignete Weise zu entnehmen.
Aufstellung der Bedingungsgleichungen
Durch Einsetzen von u und w in die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen und gleichsetzen mit g(u), h(w) usw. entsteht ein lineares Gleichungssystem der Bedingungsgleichungen.
| Bedingung | Bedingungsgleichung |
| f(u)=g(u) | $au^5+bu^4+cu^3+du^2+eu+f=g(u)$ |
| f(w)=h(w) | $aw^5+bw^4+cw^3+dw^2+ew+f=h(w)$ |
| f´(u)=g´(u) | $5au^4+4bu^3+3cu^2+2du+e=g´(u)$ |
| f´(w)=h´(w) | $5aw^4+4bw^3+3cw^2+2dw+e=h´(w)$ |
| Für eine Funktion 5. Grades gilt zusätzlich | |
| f´´(u)=g´´(u) | $20au^3+12bu^2+6cu+2d=g´´(u)$ |
| f´´(w)=h´´(w) | $20aw^3+12bw^2+6cw+2d=h´´(w)$ |
Lösen des Gleichungssystems
Dieses entstandene lineare Gleichungssystem wird in den Taschenrechner eingegeben und gelöst.
Per Hand würden man den Gaussalgorithmus verwenden oder bei einfachen Gleichungen mit Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren arbeiten.
Ist das Gleichungssystem gelöst erhälst du Werte für a,b,c,d,e und f und kannst diese in die Funktionsgleichung
f(x)=ax³+bx²+cx+d oder $f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ einsetzen.
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