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Dieser Text betrachtet das exponentielle Wachstum und erklärt die, in diesem Zusammenhang wichtigen, Begriffe Halbwertzeit und Verdopplungszeit.

Merke

Exponentielles Wachstum

  • momentaner Bestand ~ Änderungsrate, d.h. u(t)~u´(t)
  • DGL: $u^\prime(t)=k u(t)$ mit Lösungsmenge $u(t)=c e^{k t}$
  • Folgendarstellung: $a_{n+1}=k a_n \Rightarrow a_n = a_1 k^{n-1}$

Merke

Die Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:

$u(t)=c e^{k t}$, k ist der Wachstumskonstante, c=u(0)=Anfangsbestand

k>0 Wachstumsprozess

k<0 Zerfallsprozess

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Wichtige Begriffe beim exponentiellen Wachstum sind die Halbwertzeit bei Zerfallsprozessen und Verdopplungszeit bei Wachstumsprozessen.

Merke

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die Menge an Uran c, um die Hälfte sinkt c/2.

Wenn $u(t)=c e^{-k t}$, dann gilt für die Halbwertszeit $\frac{c}{2}=c \cdot e^{-k \cdot t_H}$.

Das kann vereinfacht werden zu:$\frac{1}{2}=0,5=e^{-k \cdot t_H}$.

Wenn wir jetzt nach $t_H$ umstellen dann ist $t_H=\frac{ln 0,5}{-k}$.

Beachte: Hier ist k positiv, da das Vorzeichen von k negativ ist!

Merke

Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die die Menge an Algen c, sich verdoppelt 2c.

Wenn $u(t)=c e^{k t}$, dann gilt für die Verdopplungszeit $2c=c \cdot e^{-k \cdot t_V}$.

Das kann vereinfacht werden zu:$2=e^{-k \cdot t_V}$.

Wenn wir jetzt nach $t_V$ umstellen dann ist $t_V=\frac{ln 2}{k}$.

Beispielaufgabe zum exponentiellen Wachstum

Beispiel

Eine typische Aufgabe für exponentielles Wachtum ist:

Auch in klaren Gewässern nimmt die Beleuchtungsstärke B, gemessen in Lux, mit zunehmender Tiefe x (in Metern) exponentiell ab. Nach einem Meter beträgt sie in einem See nur noch 85 % des Wertes an der Oberfläche.

  1. Bestimme eine Funktion B(x), wenn die Beleuchtungsstärke an der Oberfläche 3000 LUX beträgt.
  2. Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
  3. In welcher Tiefe beträgt die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke -15 Lux/m?
  4. Wie hoch ist die Halbwertstiefe?
  5. In welcher Tiefe beträgt die Beleuchtungsstärke 2000 Lux?
  6. Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.

Lösung:

  1. Die allgemeine Funktionsgleichung einer exponentiellen Funktion lautet: $B(x)=c e^{k x}$.Es müssen als c und k berechnet werden.
    c ist immer B(0), da $c e^{k\cdot 0}=c$ ist, also ist c=3000 Lux.
    Um k zu berechnen, müssen alle gegebenen Größen in die Gleichung einsetzt werden und dann nach k umgestellt werden. Nach einem Meter beträgt $B(1)=0,85\cdot 3000$=2550.
    $B(1)=2550=3000 e^{k\cdot 1}$, umstellen ergibt: $0,85=e^k$, k=ln 0,85=-0,1625=k
    Die Gleichung lautet dann: $B(x)=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot x}$

  2. Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
    gesucht: B(x=10m) , $B(10)=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot 10}=590Lux

  3. In welcher Tiefe beträgt die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke -15 Lux/m?
    gesucht: x-Wert zur Steigung -15, B´(x)=-15
    Ableitung gerechnet: $B´(x)=-487,5e^{-0,1625 \cdot x}$
    Ableitung -15 setzen: $
    -15=-487,5e^{-0,1625 \cdot x}$
    nach x auflösen: $
    0,0308=e^{-0,1625 \cdot x}$, ln(0,0308)=-0,1625 \cdot x, x=21,42m

  4. Wie hoch ist die Halbwertstiefe?
    Die Halbwertstiefe ist die Tiefe, bei der die Beleuchtungsstärke nur noch 50% beträgt, d.h $0,5=e^{-0,1625 \cdot x}$, nach x umstellen $x=\frac{ln(0,5){-0,1625}=4,26m$

  5. In welcher Tiefe beträgt die Beleuchtungsstärke 2000 Lux?
    gesucht: x wenn B(x)=2000
    $2000=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot x}$, $\frac{2}{3}=e^{-0,1625 \cdot x}$, $x=\frac{ln (0,667)}{-0,1625}$=2,5m

  6. Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.
    siehe Bild unten
exponentieller Zerfall
exponentieller Rückgang (Zerfall) der Beleuchtungsstärke
Multiple-Choice
Wie wird die Verdopplungszeit berechnet, wenn $u(t)=c e^{k t}$
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument exponentielles Wachstum ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
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      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
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        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
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