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exponentielles Wachstum

Wachstums- und Zerfallsprozesse

Dieser Text betrachtet das exponentielle Wachstum und erklärt die, in diesem Zusammenhang wichtigen, Begriffe Halbwertzeit und Verdopplungszeit.

Merke

Exponentielles Wachstum

  • momentaner Bestand ~ Änderungsrate, d.h. u(t)~u´(t)
  • DGL: $u^\prime(t)=k u(t)$ mit Lösungsmenge $u(t)=c e^{k t}$
  • Folgendarstellung: $a_{n+1}=k a_n \Rightarrow a_n = a_1 k^{n-1}$

Merke

Die Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:

$u(t)=c e^{k t}$, k ist der Wachstumskonstante, c=u(0)=Anfangsbestand

k>0 Wachstumsprozess

k<0 Zerfallsprozess

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Wichtige Begriffe beim exponentiellen Wachstum sind die Halbwertzeit bei Zerfallsprozessen und Verdopplungszeit bei Wachstumsprozessen.

Merke

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die Menge an Uran c, um die Hälfte sinkt c/2.

Wenn $u(t)=c e^{-k t}$, dann gilt für die Halbwertszeit $\frac{c}{2}=c \cdot e^{-k \cdot t_H}$.

Das kann vereinfacht werden zu:$\frac{1}{2}=0,5=e^{-k \cdot t_H}$.

Wenn wir jetzt nach $t_H$ umstellen dann ist $t_H=\frac{ln 0,5}{-k}$.

Beachte: Hier ist k positiv, da das Vorzeichen von k negativ ist!

Merke

Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die die Menge an Algen c, sich verdoppelt 2c.

Wenn $u(t)=c e^{k t}$, dann gilt für die Verdopplungszeit $2c=c \cdot e^{-k \cdot t_V}$.

Das kann vereinfacht werden zu:$2=e^{-k \cdot t_V}$.

Wenn wir jetzt nach $t_V$ umstellen dann ist $t_V=\frac{ln 2}{k}$.

Beispielaufgabe zum exponentiellen Wachstum

Beispiel

Eine typische Aufgabe für exponentielles Wachtum ist:

Auch in klaren Gewässern nimmt die Beleuchtungsstärke B, gemessen in Lux, mit zunehmender Tiefe x (in Metern) exponentiell ab. Nach einem Meter beträgt sie in einem See nur noch 85 % des Wertes an der Oberfläche.

  1. Bestimme eine Funktion B(x), wenn die Beleuchtungsstärke an der Oberfläche 3000 LUX beträgt.
  2. Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
  3. In welcher Tiefe beträgt die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke -15 Lux/m?
  4. Wie hoch ist die Halbwertstiefe?
  5. In welcher Tiefe beträgt die Beleuchtungsstärke 2000 Lux?
  6. Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.

Lösung:

  1. Die allgemeine Funktionsgleichung einer exponentiellen Funktion lautet: $B(x)=c e^{k x}$.Es müssen als c und k berechnet werden.
    c ist immer B(0), da $c e^{k\cdot 0}=c$ ist, also ist c=3000 Lux.
    Um k zu berechnen, müssen alle gegebenen Größen in die Gleichung einsetzt werden und dann nach k umgestellt werden. Nach einem Meter beträgt $B(1)=0,85\cdot 3000$=2550.
    $B(1)=2550=3000 e^{k\cdot 1}$, umstellen ergibt: $0,85=e^k$, k=ln 0,85=-0,1625=k
    Die Gleichung lautet dann: $B(x)=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot x}$

  2. Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
    gesucht: B(x=10m) , $B(10)=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot 10}=590Lux

  3. In welcher Tiefe beträgt die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke -15 Lux/m?
    gesucht: x-Wert zur Steigung -15, B´(x)=-15
    Ableitung gerechnet: $B´(x)=-487,5e^{-0,1625 \cdot x}$
    Ableitung -15 setzen: $-15=-487,5e^{-0,1625 \cdot x}$
    nach x auflösen: $0,0308=e^{-0,1625 \cdot x}$, ln(0,0308)=-0,1625 \cdot x, x=21,42m

  4. Wie hoch ist die Halbwertstiefe?
    Die Halbwertstiefe ist die Tiefe, bei der die Beleuchtungsstärke nur noch 50% beträgt, d.h $0,5=e^{-0,1625 \cdot x}$, nach x umstellen $x=\frac{ln(0,5){-0,1625}=4,26m$

  5. In welcher Tiefe beträgt die Beleuchtungsstärke 2000 Lux?
    gesucht: x wenn B(x)=2000
    $2000=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot x}$, $\frac{2}{3}=e^{-0,1625 \cdot x}$, $x=\frac{ln (0,667)}{-0,1625}$=2,5m

  6. Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.
    siehe Bild unten
exponentieller Zerfall
exponentieller Rückgang (Zerfall) der Beleuchtungsstärke
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
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