exponentielles Wachstum
Dieser Text betrachtet das exponentielle Wachstum und erklärt die, in diesem Zusammenhang wichtigen, Begriffe Halbwertzeit und Verdopplungszeit.
Merke
Exponentielles Wachstum
- momentaner Bestand ~ Änderungsrate, d.h. u(t)~u´(t)
- DGL: $u^\prime(t)=k u(t)$ mit Lösungsmenge $u(t)=c e^{k t}$
- Folgendarstellung: $a_{n+1}=k a_n \Rightarrow a_n = a_1 k^{n-1}$
Merke
Die Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:
$u(t)=c e^{k t}$, k ist der Wachstumskonstante, c=u(0)=Anfangsbestand
k>0 Wachstumsprozess
k<0 Zerfallsprozess
Halbwertszeit und Verdopplungszeit
Wichtige Begriffe beim exponentiellen Wachstum sind die Halbwertzeit bei Zerfallsprozessen und Verdopplungszeit bei Wachstumsprozessen.
Merke
Die Halbwertszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die Menge an Uran c, um die Hälfte sinkt c/2.
Wenn $u(t)=c e^{-k t}$, dann gilt für die Halbwertszeit $\frac{c}{2}=c \cdot e^{-k \cdot t_H}$.
Das kann vereinfacht werden zu:$\frac{1}{2}=0,5=e^{-k \cdot t_H}$.
Wenn wir jetzt nach $t_H$ umstellen dann ist $t_H=\frac{ln 0,5}{-k}$.
Beachte: Hier ist k positiv, da das Vorzeichen von k negativ ist!
Merke
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in dem der y-Wert, z.B die die Menge an Algen c, sich verdoppelt 2c.
Wenn $u(t)=c e^{k t}$, dann gilt für die Verdopplungszeit $2c=c \cdot e^{-k \cdot t_V}$.
Das kann vereinfacht werden zu:$2=e^{-k \cdot t_V}$.
Wenn wir jetzt nach $t_V$ umstellen dann ist $t_V=\frac{ln 2}{k}$.
Beispielaufgabe zum exponentiellen Wachstum
Beispiel
Eine typische Aufgabe für exponentielles Wachtum ist:
Auch in klaren Gewässern nimmt die Beleuchtungsstärke B, gemessen in Lux, mit zunehmender Tiefe x (in Metern) exponentiell ab. Nach einem Meter beträgt sie in einem See nur noch 85 % des Wertes an der Oberfläche.
- Bestimme eine Funktion B(x), wenn die Beleuchtungsstärke an der Oberfläche 3000 LUX beträgt.
- Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
- In welcher Tiefe beträgt die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke -15 Lux/m?
- Wie hoch ist die Halbwertstiefe?
- In welcher Tiefe beträgt die Beleuchtungsstärke 2000 Lux?
- Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.
Lösung:
- Die allgemeine Funktionsgleichung einer exponentiellen Funktion lautet: $B(x)=c e^{k x}$.Es müssen als c und k berechnet werden.
c ist immer B(0), da $c e^{k\cdot 0}=c$ ist, also ist c=3000 Lux.
Um k zu berechnen, müssen alle gegebenen Größen in die Gleichung einsetzt werden und dann nach k umgestellt werden. Nach einem Meter beträgt $B(1)=0,85\cdot 3000$=2550.
$B(1)=2550=3000 e^{k\cdot 1}$, umstellen ergibt: $0,85=e^k$, k=ln 0,85=-0,1625=k
Die Gleichung lautet dann: $B(x)=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot x}$ - Wie hoch ist die Beleuchtungsstärke, dann in 10 m Tiefe?
gesucht: B(x=10m) , $B(10)=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot 10}=590Lux - In welcher Tiefe beträgt die momentane Änderung der Beleuchtungsstärke -15 Lux/m?
gesucht: x-Wert zur Steigung -15, B´(x)=-15
Ableitung gerechnet: $B´(x)=-487,5e^{-0,1625 \cdot x}$
Ableitung -15 setzen: $-15=-487,5e^{-0,1625 \cdot x}$
nach x auflösen: $0,0308=e^{-0,1625 \cdot x}$, ln(0,0308)=-0,1625 \cdot x, x=21,42m - Wie hoch ist die Halbwertstiefe?
Die Halbwertstiefe ist die Tiefe, bei der die Beleuchtungsstärke nur noch 50% beträgt, d.h $0,5=e^{-0,1625 \cdot x}$, nach x umstellen $x=\frac{ln(0,5){-0,1625}=4,26m$ - In welcher Tiefe beträgt die Beleuchtungsstärke 2000 Lux?
gesucht: x wenn B(x)=2000
$2000=3000\cdot e^{-0,1625 \cdot x}$, $\frac{2}{3}=e^{-0,1625 \cdot x}$, $x=\frac{ln (0,667)}{-0,1625}$=2,5m - Zeichne mit den berechneten Werten den Graph.
siehe Bild unten
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