Wachstums- und Zerfallsprozesse
Will man Prozesse wie radioaktiven Zerfall, Bevölkerungs- oder BakterienWachstum einheitlich beschreiben, benötigt man die Theorie zu Wachstums- und Zerfallsprozessen. Üblicherweise verwendet man für die zu untersuchende Größe (Bestand) die Funktion u und beschreibt ihren zeitlichen Verlauf. Die Veränderung von u nach $\Delta t$ Sekunden ist $\Delta u(t) = u(t + \Delta t) - u(t)$ (Änderung). Teilt man dies durch $\Delta t$ ergibt sich ein Analogon zum Grenzwert der schließlich auf die Ableitung (Änderungsrate) führt. So ist auch zu erklären, dass diese Prozesse häufig durch Differentialgleichungen (DGL) beschrieben werden. Da positive Änderungsraten zu Wachstums- und negative zu Zerfallsprozessen führen, wird immer nur auf eine Art Prozess verwiesen, aber die Aussagen gelten in beiden Fällen.
Verschiedene Prozessarten
Die verschiedenen Prozessarten werden durch die Änderungsrate klassifiziert:
Merke
Änderungsrate konstant - lineares Wachstum
Änderungsrate ~ Bestand - exponentielles Wachstum
Verbrauch ~ Änderungsrate - beschränktes Wachstum
zu Beginn Änderungsrate ~ Bestand , am Ende Verbrauch ~ Änderungsrate - logistisches Wachstum
Beispiel
lineares Wachstum - Abzahlen eines Kredites, konstante Geschwindigkeit
exponentieles Wachstum - Bevölkerungswachstum
exponentieller Zerfall - radioaktiver Zerfall
beschränktes Wachstum - Abkühlung von Kaffee
logistisches Wachstum - Wachstum von Pflanzen
Auch beim Lösen von Aufgaben zu Wachstumsprozessen findet ihr die typischen Mathematikaufgaben:
- y-Wert berechnen, bei gegebenen x-Wert
- x-Wert berechnen, bei gegebenen y-Wert
- Nullstellen berechnen
- Extrempunkte und Wendepunkte berechnen
- Schnittpunkte berechnen
- Steigungen berechnen
- Graph zeichnen
Zusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor.
Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden.
Gleichungen für Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen herleiten.
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