Wachstums- und Zerfallsprozesse
Will man Prozesse wie radioaktiven Zerfall, Bevölkerungs- oder BakterienWachstum einheitlich beschreiben, benötigt man die Theorie zu Wachstums- und Zerfallsprozessen. Üblicherweise verwendet man für die zu untersuchende Größe (Bestand) die Funktion u und beschreibt ihren zeitlichen Verlauf. Die Veränderung von u nach
Verschiedene Prozessarten
Die verschiedenen Prozessarten werden durch die Änderungsrate klassifiziert:
Merke
Änderungsrate konstant - lineares Wachstum
Änderungsrate ~ Bestand - exponentielles Wachstum
Verbrauch ~ Änderungsrate - beschränktes Wachstum
zu Beginn Änderungsrate ~ Bestand , am Ende Verbrauch ~ Änderungsrate - logistisches Wachstum
Beispiel
lineares Wachstum - Abzahlen eines Kredites, konstante Geschwindigkeit
exponentieles Wachstum - Bevölkerungswachstum
exponentieller Zerfall - radioaktiver Zerfall
beschränktes Wachstum - Abkühlung von Kaffee
logistisches Wachstum - Wachstum von Pflanzen
Auch beim Lösen von Aufgaben zu Wachstumsprozessen findet ihr die typischen Mathematikaufgaben:
- y-Wert berechnen, bei gegebenen x-Wert
- x-Wert berechnen, bei gegebenen y-Wert
- Nullstellen berechnen
- Extrempunkte und Wendepunkte berechnen
- Schnittpunkte berechnen
- Steigungen berechnen
- Graph zeichnen
Zusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor.
Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden.
Gleichungen für Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen herleiten.
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