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Wachstums- und Zerfallsprozesse

Will man Prozesse wie radioaktiven Zerfall, Bevölkerungs- oder BakterienWachstum einheitlich beschreiben, benötigt man die Theorie zu Wachstums- und Zerfallsprozessen. Üblicherweise verwendet man für die zu untersuchende Größe (Bestand) die Funktion u und beschreibt ihren zeitlichen Verlauf. Die Veränderung von u nach $\Delta t$ Sekunden ist $\Delta u(t) = u(t + \Delta t) - u(t)$ (Änderung). Teilt man dies durch $\Delta t$ ergibt sich ein Analogon zum Grenzwert der schließlich auf die Ableitung (Änderungsrate) führt. So ist auch zu erklären, dass diese Prozesse häufig durch Differentialgleichungen (DGL) beschrieben werden. Da positive Änderungsraten zu Wachstums- und negative zu Zerfallsprozessen führen, wird immer nur auf eine Art Prozess verwiesen, aber die Aussagen gelten in beiden Fällen.

Verschiedene Prozessarten

Die verschiedenen Prozessarten werden durch die Änderungsrate klassifiziert:

Merke

Änderungsrate konstant - lineares Wachstum

Änderungsrate ~ Bestand - exponentielles Wachstum

Verbrauch ~ Änderungsrate - beschränktes Wachstum

zu Beginn Änderungsrate ~ Bestand , am Ende Verbrauch ~ Änderungsrate - logistisches Wachstum

Beispiel

lineares Wachstum - Abzahlen eines Kredites, konstante Geschwindigkeit

exponentieles Wachstum - Bevölkerungswachstum

exponentieller Zerfall - radioaktiver Zerfall

beschränktes Wachstum - Abkühlung von Kaffee

logistisches Wachstum - Wachstum von Pflanzen

Auch beim Lösen von Aufgaben zu Wachstumsprozessen findet ihr die typischen Mathematikaufgaben:

  • y-Wert berechnen, bei gegebenen x-Wert
  • x-Wert berechnen, bei gegebenen y-Wert
  • Nullstellen berechnen
  • Extrempunkte und Wendepunkte berechnen
  • Schnittpunkte berechnen
  • Steigungen berechnen
  • Graph zeichnen

Zusätzlich kommen jetzt die Begriffe Halbwertszeit und Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum und der Begriff Schranke beim beschränkten und logistischen Wachstum vor.

Oft muss auch der Wachstumskonstante k ausgerechnet werden.

Gleichungen für Wachstumsprozesse lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen herleiten.

Multiple-Choice
Bei welcher Wachstumsart ist die Änderungsrate proportional zum Verbrauch?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Wachstums- und Zerfallsprozesse ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 42
  • 13
  • 56
  • 12

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  • Miriam

    Miriam

    "Ich finde abiweb.de sehr hilfreich und die Themen sehr gut erklärt!! Vielen Dank!!"
  • Jens

    Jens

    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
  • Michaela

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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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