Vervielfachen von Matrizen
Von Vektoren kennen wir bereits die Möglichkeit, diese zu vervielfachen, ohne dass sie in ihrer grundsätzlichen Bedeutung geändert werden. Hierbei ändert sich lediglich ihr Betrag, nicht aber ihre Richtung. Nachdem wir wissen, dass Matrizen aus Vektoren aufgebaut sind bzw. wir uns sie zumindest so vorstellen können, stellt sich die Frage was passiert, wenn eine Matrix vervielfacht wird und wie das geht.
Merke
Eine Matrix A kann mit einer beliebigen reellen Zahl multipliziert werden. Dazu wird jedes Element $a_{ij}$ der Matrix mit der Zahl r multipliziert.
Kurz geschrieben: $r \cdot A = r \cdot a_{ij}$.
Beispiel
$3 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot {(-1)} & 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$
Und was hat das jetzt für eine Bedeutung? Zuerst einmal passiert ja eigentlich ... nichts! Stellen wir uns die Zeilen einer Matrix als "Abkürzung" für je eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems vor: Eine solche Gleichung ändert ihre Aussage überhaupt nicht, wenn sie auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit derselben Zahl multipliziert wird. Eine solches Vorgehen heißt Äquivalenzoperation, da der "Wert" dieser Gleichung bzw. Aussage "gleich" bleibt.
Warum ist das Vervielfachen von Matrizen dann trotzdem nicht unwichtig? Genauso wie bei Gleichungen und Vektoren auch. Wir benötigen zum Rechnen mit einer Matrix halt zum Teil eine ganz bestimmte Form oder eine Matrix mit einer bestimmten Eigenschaft. So wie ein Vektor normiert werden kann ist ähnliches natürlich auch mit Matrizen möglich - das führt jedoch über das Abiturniveau hinaus...
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