Hessesche Normalenform
Eine weitere Darstellungsmöglichkeit für Ebenen ist die sogenannte Hesse’sche Normalenform. Um die Ebenengleichung auf diese Form zu bringen, normiert man den Normalenvektor in der Normalenform. Klar ist: der Normalenvektor bleibt senkrecht zur beschriebenen Ebene, er wird nur in seiner Länge verändert (normieren = stauchen/strecken auf die Länge 1!).
Merke
Wählt man als Normalenvektor einer Ebene E einen Vektor der Länge 1, so bekommt man die Hesse’sche Normalenform $E:\quad (\vec{x}-\vec{p}) \cdot \vec{n_0} = 0$.
Da $\vec{n_0}=\frac{1}{\left|\vec{n}\right|}\vec{n}$ ergibt sich für die Darstellung in Koordinatenform durch Ausmultiplizieren entsprechend $E:\quad \frac{n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 – b}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}=0 $.
Hessesche Normalenform zur Abstandsberechnung
Interessant ist die Hesse’sche Normalenform für Abstandsberechnungen von beliebigen Punkten zur Ebene. Mit unserem normierten Normalenvektor (man sagt auch „Normaleneinheitsvektor“) haben wir gewissermaßen die Möglichkeit, Abstände zu „messen“. Hierfür setzen wir einfach die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein. Das, was als Ergebnis rauskommt, ist der gesuchte Abstand. Anmerkung: Ist das Ergebnis Null, so liegt der Punkt natürlich auf der Ebene.
Methode
Q ist ein Punkt außerhalb der Ebene E, sein Ortsvektor ist $\vec{q}=\begin{pmatrix} q_1\\q_2\\q_3 \end{pmatrix}$.
Für den Abstand d des Punktes Q von der Ebene E gilt dann $d= \left| (\vec{q}-\vec{p}) \cdot \vec{n_0} \right|$.
Ist die Ebene in Koordinatenform $a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 = b$ gegeben, so können wir $\vec{n_0}=\frac{1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} \cdot \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ daraus ablesen und den Abstand von Q zur Ebene E berechnen mit $d= \left| \frac{a_1 q_1 + a_2 q_2 + a_3 q_3 – b}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} \right|$.
Beispiel
Berechne den Abstand des Punktes $Q(4|3|2)$ zur Ebene $E: \quad 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 2$.
Für den Normalenvektor gilt $\vec{n}= \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ mit $\left| \vec{n} \right| = \frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
Der Abstand des Punktes Q von E ist dann $d=\frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 – 2}{\sqrt{14}}=\frac{8+9+2-2}{\sqrt{14}}=\frac{17}{\sqrt{14}} \approx 4,54$ Längeneinheiten.
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