Normalenform einer Ebene
Eine andere Möglichkeit, eine Ebene durch eine mathematische Gleichung zu beschreiben, ist die sogenannte Normalenform. Dieser wollen wir uns jetzt gedanklich nähern:
Überlegungen
- Überlegung: Zu jeder Ebene gibt es einen Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Diesen Vektor nennen wir „Normalenvektor“ der Ebene. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, von welcher Stelle auf der Ebene aus man das betrachtet. Nur die Richtung zählt!
- Überlegung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die orthogonal zueinander stehen, ist Null.
- Überlegung: Jeder Vektor, der in der Ebene liegt, ist senkrecht zu obigem Normalenvektor. Und jeder Vektor zwischen zwei beliebigen Punkten der Ebene liegt in der Ebene.
Methode
Folgerung: Jeder beliebige Punkt der Ebene kann beschrieben werden durch ein Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Verbindungsvektor des Punktes zu einem bekannten Punkt der Ebene. Dieses Skalarprodukt muss den Wert Null ergeben.
Merke
Mathematisch ausgedrückt: $(\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}=0$.
Eine Skizze soll den Zusammenhang veranschaulichen:
Vorteil der Darstellung in Normalenform
Uns reicht zur eindeutigen Bestimmung einer Ebene ein Punkt, der in der Ebene liegt, und ein Vektor (der Normalenvektor der Ebene). Zwar erfordert die Bestimmung des Normalenvektors zuerst ein bisschen Rechnerei, doch lohnt sich der Aufwand rasch. Mittels des Normalenvektors lassen sich dann z.B. sehr einfach Schnittwinkel berechnen und die Normalenform einer Ebene erleichtert Abstandsberechnungen ungemein.
Beispiel
Der Punkt P(1|2|0) liegt auf der Ebene E, die den Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ hat. Die Normalenform der Ebene E lautet dann:
$E:\quad\lbrack\vec{x}-\vec{p}\rbrack\cdot\vec{n}=\lbrack\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\rbrack\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=0$.
Hierbei steht $\vec{x}$ für den Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Ebene.
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