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Koordinatenform einer Ebene

Ebenen in der analytischen Geometrie

Auch eine Gleichung der Form $ax_1+bx_2+cx_3=d$ beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$. Da alle Koordinaten in einer Gleichung vorkommen nennt man sie auch Koordinatenform einer Ebene. Sie beschreibt, wie x1-, x2- und x3-Koordinate eines Punktes auf der Ebene miteinander zusammenhängen.

Anmerkung: Bei Geraden im Zweidimensionalen war uns bislang sogar nur die Darstellung in Koordinatenform vertraut. Eine Geradengleichung wie zum Beispiel $y=2x-3$ ist ja in anderen Koordinaten nichts anderes wie $x_2=2x_1-3$ und damit $2x_1-x_2=3$, was uns sehr an obige Darstellung erinnern sollte.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Die Gleichung $2x_1+x_2+2x_3=4$ beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$.

Vorteil der Darstellung in Koordinatenform

Die Vorteile dieser Darstellung sind unter anderem eine sehr einfache Punktprobe (liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht?), das Auffinden von Punkten auf der Ebene und das Bestimmen von Spurpunkten (vgl. Kapitel zur Darstellung von Ebenen im Koordinatensystem). Ebenfalls wie die Normalenform wird auch die Koordinatenform häufig zum Berechnen von Abständen benutzt. Auf diesen Aspekt gehen wir in einem anderen Kapitel jedoch gesondert ein.

Bleibt die Frage, wie man auf die Koordinatenform einer Ebene kommt. Das wird im Kapitel "Formen umwandeln" ausführlich behandelt.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
    • Multiplikation von Matrizen
    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
      • Mehrstufige Prozesse
    • Übergangsmatrizen
      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
      • Zustandsvektoren
      • Fixvektor
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