Begriff des Vektorraums
In diesem und dem nächsten Kapitel wird es ein klein wenig "mathematisch", da wir versuchen die Begrifflichkeiten, die wir benutzen, sauber zu definieren. Auch wenn Fragen zum Stoff dieses Kapitels im Abitur eher unwahrscheinlich sind, trägt ein ein sorgfältiges Durcharbeiten der Materie hoffentlich zu einem tieferen Verständnis bei.
Methode
In der linearen Algebra arbeiten wir mit Vektorräumen (oder auch linearen Räumen). Darunter verstehen wir nicht zwangsläufig ein kartesisches dreidimensionales Koordinatensystem, wie man umgangsprachlich mit dem Begriff "Raum" vielleicht verknüpfen möchte. Vielmehr ist ein Vektorraum einfach eine algebraische Struktur, die bestimmten Regeln gehorcht.
Merke
Vektoren sind die grundlegenden Elemente eines Vektorraumes. Die Einträge eines Vektors stammen wieder aus einem (mathematischen) Körper. Ein solcher Körper ist z.B. die Menge der reellen Zahlen. Damit man aber wirklich von einem Raum sprechen kann, müssen diese über festgelegte Rechenoperationen verknüpft werden können und das Ergebnis dieser Rechnung muss bestimmte Eigenschaften erfüllen.
In unserem Falle werden die Einträge der Vektoren immer reelle Zahlen (oder Platzhalter dafür) sein, daher wollen wir unsere "alltäglichen" Vektoren auch als Beispiel heranziehen:
- Vektoren kann man miteinander addieren, das Ergebnis ist wiederum ein Vektor.
- Die Addition ist kommutativ, wir dürfen also die Summanden vertauschen: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
- Außerdem ist sie assoziativ, es gilt also $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
- Es gibt bei der Addition ein "neutrales Element", das den Vektor unverändert lässt, nämlich den Nullvektor.
- Ein Vektor kann mit einem Skalar multipliziert werden, das Ergebnis ist wiederum ein Vektor.
- Die Multiplikation mit Skalaren ist assoziativ: $a \cdot (b \cdot \vec{u})=(a \cdot b) \cdot \vec{u}$.
- Hat man mehrere Vektoren, so gelten die Distributivgesetze $a \cdot (\vec{u} + \vec{v})= a \cdot \vec{u} + a \cdot \vec{v}$ und $(a+b) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u}$.
Wie bereits gesagt, wir arbeiten eigentlich nur im zwei- oder dreidimensionalen euklidischen (Vektor-)Raum. Man kann diese ganzen Dinge aber auch z.B. mit Matrizen oder Funktionen durchführen.
In einem Video wird der Begriff "Vektorraum" mit den verlangten Bedingungen noch einmal ausführlich erklärt:
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