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In diesem und dem nächsten Kapitel wird es ein klein wenig "mathematisch", da wir versuchen die Begrifflichkeiten, die wir benutzen, sauber zu definieren. Auch wenn Fragen zum Stoff dieses Kapitels im Abitur eher unwahrscheinlich sind, trägt ein ein sorgfältiges Durcharbeiten der Materie hoffentlich zu einem tieferen Verständnis bei.

Methode

In der linearen Algebra arbeiten wir mit Vektorräumen (oder auch linearen Räumen). Darunter verstehen wir nicht zwangsläufig ein kartesisches dreidimensionales Koordinatensystem, wie man umgangsprachlich mit dem Begriff "Raum" vielleicht verknüpfen möchte. Vielmehr ist ein Vektorraum einfach eine algebraische Struktur, die bestimmten Regeln gehorcht.

Merke

Vektoren sind die grundlegenden Elemente eines Vektorraumes. Die Einträge eines Vektors stammen wieder aus einem (mathematischen) Körper. Ein solcher Körper ist z.B. die Menge der reellen Zahlen. Damit man aber wirklich von einem Raum sprechen kann, müssen diese über festgelegte Rechenoperationen verknüpft werden können und das Ergebnis dieser Rechnung muss bestimmte Eigenschaften erfüllen.

In unserem Falle werden die Einträge der Vektoren immer reelle Zahlen (oder Platzhalter dafür) sein, daher wollen wir unsere "alltäglichen" Vektoren auch als Beispiel heranziehen:

  • Vektoren kann man miteinander addieren, das Ergebnis ist wiederum ein Vektor.
  • Die Addition ist kommutativ, wir dürfen also die Summanden vertauschen: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
  • Außerdem ist sie assoziativ, es gilt also $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
  • Es gibt bei der Addition ein "neutrales Element", das den Vektor unverändert lässt, nämlich den Nullvektor.
  • Ein Vektor kann mit einem Skalar multipliziert werden, das Ergebnis ist wiederum ein Vektor.
  • Die Multiplikation mit Skalaren ist assoziativ: $a \cdot (b \cdot \vec{u})=(a \cdot b) \cdot \vec{u}$.
  • Hat man mehrere Vektoren, so gelten die Distributivgesetze $a \cdot (\vec{u} + \vec{v})= a \cdot \vec{u} + a \cdot \vec{v}$ und $(a+b) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u}$.

Wie bereits gesagt, wir arbeiten eigentlich nur im zwei- oder dreidimensionalen euklidischen (Vektor-)Raum. Man kann diese ganzen Dinge aber auch z.B. mit Matrizen oder Funktionen durchführen.

In einem Video wird der Begriff "Vektorraum" mit den verlangten Bedingungen noch einmal ausführlich erklärt:

Video: Begriff des Vektorraums

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
    • Multiplikation von Matrizen
    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
      • Mehrstufige Prozesse
    • Übergangsmatrizen
      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
      • Zustandsvektoren
      • Fixvektor
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