Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen

Punkte

Ein Punkt kann entweder auf einer Geraden liegen oder nicht. Überprüfen können wir das mithilfe einer Punktprobe (vgl. Abschnitt Geraden). Genauso gilt das für Ebenen: Setzt man die Koordinaten des Punktes in eine Ebenengleichung ein und die Gleichung ist erfüllt, so liegt der Punkt auf der Ebene. Andernfalls können wir den Abstand des Punktes von der Ebene bzw. von einer Gerade berechnen (vgl. Abschnitt Abstände).

Gerade – Gerade

Wie zwei Geraden zueinander liegen können haben wir bereits im Kapitel Geraden betrachtet. Sie können entweder (echt) parallel, identisch, sich schneidend oder windschief verlaufen. Unterscheiden können wir die Fälle durch Betrachten der Richtungsvektoren und dem Versuch eines Schnittes (vgl. Kapitel Geraden).

Gerade – Ebene

Eine Gerade kann in einer Ebene liegen, parallel zu einer Ebene verlaufen oder aber die Ebene in einem Punkt S schneiden. Um die Fälle unterscheiden zu können, setzt man Geraden- und Ebenengleichung gleich und betrachtet die Lösungsmengen: Bei genau einer Lösung gibt es genau einen Schnittpunkt* (Fall 3), hat die Gleichung bzw. das Gleichungssystem keine Lösung gibt es keinen Schnittpunkt. Die Gerade muss also parallel zur Ebene verlaufen (Fall 2). Und bei unendlich vielen Lösungen liegt die Gerade in der Ebene (Fall 1).

*Ausführlich ausgedrückt: Erfüllt ein Punkt S sowohl die Geraden- als auch die Ebenengleichung, liegt er auf beiden, muss also Schnittpunkt sein.

Mathematisch eleganter kann man die Untersuchung natürlich auch mittels Richtungsvektor der Geraden $\vec{u}$ und Spann- oder Normalenvektoren der Ebene ($\vec{v}, \vec{w}, \vec{n}$) durchführen:
Für $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ verläuft die Gerade parallel zur oder in der Ebene. Eine einfache Punktprobe schafft dann Klärung, ob Fall 1 oder 2 vorliegt. Ist das Skalarprodukt ungleich Null, so müssen sich Gerade und Ebene schneiden.
Vorteil dieses Verfahrens ist, dass sich für Fall 1 und 2 das Aufstellen eines LGS erübrigt. Und wenn man – für Fall 3 – eines benötigt, so weiß man schon im Voraus, dass es eindeutig lösbar ist.

Ebene – Ebene

Zwei Ebenen können parallel verlaufen, identisch sein oder sich in einer Geraden schneiden. Parallel oder identisch sind sie, wenn ihre Normalenvektoren gleich oder Vielfache voneinander sind. In jedem anderen Fall schneiden sie sich.

3 Ebenen

Bei drei Ebenen vervielfachen sich entsprechend die Möglichkeiten, welche Lage sie zueinander haben können. Wichtig ist hier speziell der Sonderfall, dass sich drei Ebenen in einem Punkt schneiden. Als einfachstes Beispiel dient hier unser „normales“ Koordinatensystem mit der x₁x₂-Ebene, der x₁x₃-Ebene und der x₂x₃-Ebene, die sich alle im Ursprung schneiden.

Mathematisch ergibt sich aus den drei Ebenengleichungen (z.B. in Koordinatenform) ein LGS, das in diesem Fall eindeutig lösbar ist.

3 Ebenen können Sich aber auch in einer Geraden schneiden (es ergibt sich beim LGS eine Lösung, die von einem Parameter abhängt).