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Gauß-Verfahren

Lineare Gleichungssysteme
Lösen eines linearen Gleichungssystems

Wir haben im letzten Kapitel bereits die Umformungen beschrieben, die zur Lösung eines LGS erlaubt sind. Ebenso haben wir gesehen, dass ein LGS in Stufenform recht einfach zu lösen ist. Das Gauß-Verfahren benutzt genau diese Eigenschaft. Ziel beim Gauß-Verfahren ist es, das LGS durch Umformungen auf Stufenform zu bekommen und anschließend „von unten nach oben“ aufzulösen. Dieses Verfahren funktioniert immer – die Lösbarkeit des LGS vorausgesetzt – und ist mal einfacher, mal aufwändiger durchzuführen.

LGS

Umformung

Ziel

$\begin{align}
5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
-5 &x_1 &- 6 &x_2 &- 6 &x_3 &= &14\\
15 &x_1 &- 4 &x_2 &-3 &x_3 &= &49
\end{align}$

1. Zeile bleibt gleich
2. Zeile wird mit der 1. Zeile addiert und ergibt die neue 2.Zeile
3. Zeile wird mit dem (-3)-fachen der ersten Zeile addiert und ergibt die neue 3. Zeile

 Elimination von x1 aus den Zeilen 2 und 3

$\begin{align}
&5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
& & &- 2 &x_2 &4 &x_3 &= &26\\
& & &-16 &x_2 &-33 &x_3 &= &13
\end{align}$

1. Zeile bleibt gleich
2. Zeile bleibt gleich
3. Zeile wird mit dem (-8)-fachen der zweiten Zeile addiert

Elimination von x2 aus der Zeile 3

$\begin{align}
&5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
& & &- 2 &x_2 &4 &x_3 &= &26\\
& & & & &-65 &x_3 &= &-195
\end{align}$

Dreiecksform erreicht!
3. Zeile auflösen (x3=3) und in die 2. Zeile einsetzen

Auflösen „von unten nach oben“: Bestimmung von x2

$\begin{align}
5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
  & &- 2 &x_2 &+4 \cdot &3 &= &26\\
  & & & & &x_3 &= &3
\end{align}$

 

2. Zeile auflösen (x2 = -7) und zusammen mit 3. Zeile in 1. Zeile einsetzen

Bestimmung von x1

$\begin{align}
5 &x_1 &+ 4 \cdot &(-7) &+ 10 \cdot &3 &= &12\\
& & &x_2 & & &= &-7\\
& & & & &x_3 &= &3
\end{align}$

x1 berechnen (x1 =2)

 

Die Lösung des gegebenen LGS ist also $( 2 | -7 | 3)$.  Eine Probe (Einsetzen der Lösung für x1, x2 und x3 in alle drei Ausgangsgleichungen) bringt Bestätigung für unser Ergebnis.

Methode

Anmerkungen / Hilfe

  1. Gleichungen werden immer nummeriert, unveränderte Gleichungen mitgenommen, Rechenschritte dokumentiert.
  2. Zum eindeutigen Lösen eines Gleichungssystems benötigen wir mindestens so viele Aussagen (Gleichungen) wie Unbekannte!
Multiple-Choice
Gelöst werden soll folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{align}
 -5 &x_1 &+ &x_2 &- 3 &x_3 &= &7\\
  5 &x_1 &- 3 &x_2 &-  &x_3 &= &-11\\
    &x_1 &  & &+  &x_3 &= &-1
\end{align}$
(Abitur Baden-Württemberg 2011)
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
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    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
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      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
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    • Darstellung in Matrizenform
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