abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 168 Lernvideos
  • 416 Lerntexte
  • 592 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben

Gauß-Verfahren

Lineare Gleichungssysteme / Lösen eines linearen Gleichungssystems

Wir haben im letzten Kapitel bereits die Umformungen beschrieben, die zur Lösung eines LGS erlaubt sind. Ebenso haben wir gesehen, dass ein LGS in Stufenform recht einfach zu lösen ist. Das Gauß-Verfahren benutzt genau diese Eigenschaft. Ziel beim Gauß-Verfahren ist es, das LGS durch Umformungen auf Stufenform zu bekommen und anschließend „von unten nach oben“ aufzulösen. Dieses Verfahren funktioniert immer – die Lösbarkeit des LGS vorausgesetzt – und ist mal einfacher, mal aufwändiger durchzuführen.

LGS

Umformung

Ziel

$\begin{align}
5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
-5 &x_1 &- 6 &x_2 &- 6 &x_3 &= &14\\
15 &x_1 &- 4 &x_2 &-3 &x_3 &= &49
\end{align}$

1. Zeile bleibt gleich
2. Zeile wird mit der 1. Zeile addiert und ergibt die neue 2.Zeile
3. Zeile wird mit dem (-3)-fachen der ersten Zeile addiert und ergibt die neue 3. Zeile

 Elimination von x1 aus den Zeilen 2 und 3

$\begin{align}
&5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
& & &- 2 &x_2 &4 &x_3 &= &26\\
& & &-16 &x_2 &-33 &x_3 &= &13
\end{align}$

1. Zeile bleibt gleich
2. Zeile bleibt gleich
3. Zeile wird mit dem (-8)-fachen der zweiten Zeile addiert

Elimination von x2 aus der Zeile 3

$\begin{align}
&5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
& & &- 2 &x_2 &4 &x_3 &= &26\\
& & & & &-65 &x_3 &= &-195
\end{align}$

Dreiecksform erreicht!
3. Zeile auflösen (x3=3) und in die 2. Zeile einsetzen

Auflösen „von unten nach oben“: Bestimmung von x2

$\begin{align}
5 &x_1 &+ 4 &x_2 &+ 10 &x_3 &= &12\\
  & &- 2 &x_2 &+4 \cdot &3 &= &26\\
  & & & & &x_3 &= &3
\end{align}$

 

2. Zeile auflösen (x2 = -7) und zusammen mit 3. Zeile in 1. Zeile einsetzen

Bestimmung von x1

$\begin{align}
5 &x_1 &+ 4 \cdot &(-7) &+ 10 \cdot &3 &= &12\\
& & &x_2 & & &= &-7\\
& & & & &x_3 &= &3
\end{align}$

x1 berechnen (x1 =2)

 

Die Lösung des gegebenen LGS ist also $( 2 | -7 | 3)$.  Eine Probe (Einsetzen der Lösung für x1, x2 und x3 in alle drei Ausgangsgleichungen) bringt Bestätigung für unser Ergebnis.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Anmerkungen / Hilfe

  1. Gleichungen werden immer nummeriert, unveränderte Gleichungen mitgenommen, Rechenschritte dokumentiert.
  2. Zum eindeutigen Lösen eines Gleichungssystems benötigen wir mindestens so viele Aussagen (Gleichungen) wie Unbekannte!
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
    • Multiplikation von Matrizen
    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
      • Mehrstufige Prozesse
    • Übergangsmatrizen
      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
      • Zustandsvektoren
      • Fixvektor
  • 69
  • 20
  • 196
  • 44