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Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.

Methode

Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik benötigt. Mit ihr lassen sich nämlich z.B. Aussagen über den Winkel, den zwei Vektorpfeile miteinander einschließen, treffen.

Merke

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ wird berechnet durch den Term $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$.

Für das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schreibt man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Der Name Skalarprodukt wurde deshalb gewählt, da das Ergebnis dieser Operation kein Vektor, sondern eine (Maß-)Zahl – ein sogenannter „Skalar“ – ist.

Beispiel

Das Skalarprodukt der Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\5\\-6\end{pmatrix}$ ist $1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-6) = 4 + 10 – 18 = (-4) $.

Merke

Am Ende dieses Abschnitts merken wir uns zunächst ohne weitere Erklärung die (für uns!) wichtigste Eigenschaft des Skalarprodukts:
Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 annimmt.

Hier noch ein Video, das die Berechnung des Skalarprodukts erklärt:

Video: Skalarprodukt zweier Vektoren

Multiple-Choice
Das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ t \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ ist 2. Bestimmen Sie t.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Skalarprodukt zweier Vektoren

  • Andreas Erb schrieb am 02.05.2014 um 13:36 Uhr
    Liebe Carolin. Du hattest Recht, hier war das Häkchen falsch gesetzt. Die richtige Lösung ist natürlich 8. Danke für den Hinweis, ich habe es entsprechend verbessert!
  • Carolin Mackenstein schrieb am 02.05.2014 um 10:27 Uhr
    Wieso ist die Lösung 12 und nicht 8 bei dem Skalarprodukt der Übungsaufgabe ? Ich hab gerechnet : (2*3)+(1*4)+(2*-1)= 6+4-2=8
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
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    • Einleitung zu Schnitte
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  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
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    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
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      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
    • Multiplikation von Matrizen
    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
      • Mehrstufige Prozesse
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      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
      • Zustandsvektoren
      • Fixvektor
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Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

    Ein Kursnutzer am 01.02.2016:
    "alles topp soweit"