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Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.

Methode

Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik benötigt. Mit ihr lassen sich nämlich z.B. Aussagen über den Winkel, den zwei Vektorpfeile miteinander einschließen, treffen.

Merke

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ wird berechnet durch den Term $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$.

Für das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schreibt man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Der Name Skalarprodukt wurde deshalb gewählt, da das Ergebnis dieser Operation kein Vektor, sondern eine (Maß-)Zahl – ein sogenannter „Skalar“ – ist.

Beispiel

Das Skalarprodukt der Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\5\\-6\end{pmatrix}$ ist $1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-6) = 4 + 10 – 18 = (-4) $.

Merke

Am Ende dieses Abschnitts merken wir uns zunächst ohne weitere Erklärung die (für uns!) wichtigste Eigenschaft des Skalarprodukts:
Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 annimmt.

Hier noch ein Video, das die Berechnung des Skalarprodukts erklärt:

Video: Skalarprodukt zweier Vektoren

Multiple-Choice
Was ist das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Skalarprodukt zweier Vektoren

  • Andreas Erb schrieb am 02.05.2014 um 13:36 Uhr
    Liebe Carolin. Du hattest Recht, hier war das Häkchen falsch gesetzt. Die richtige Lösung ist natürlich 8. Danke für den Hinweis, ich habe es entsprechend verbessert!
  • Carolin Mackenstein schrieb am 02.05.2014 um 10:27 Uhr
    Wieso ist die Lösung 12 und nicht 8 bei dem Skalarprodukt der Übungsaufgabe ? Ich hab gerechnet : (2*3)+(1*4)+(2*-1)= 6+4-2=8
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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