Skalarprodukt zweier Vektoren
Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.
Methode
Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik benötigt. Mit ihr lassen sich nämlich z.B. Aussagen über den Winkel, den zwei Vektorpfeile miteinander einschließen, treffen.
Merke
Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ wird berechnet durch den Term $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$.
Für das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schreibt man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Der Name Skalarprodukt wurde deshalb gewählt, da das Ergebnis dieser Operation kein Vektor, sondern eine (Maß-)Zahl – ein sogenannter „Skalar“ – ist.
Beispiel
Das Skalarprodukt der Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\5\\-6\end{pmatrix}$ ist $1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-6) = 4 + 10 – 18 = (-4) $.
Merke
Am Ende dieses Abschnitts merken wir uns zunächst ohne weitere Erklärung die (für uns!) wichtigste Eigenschaft des Skalarprodukts:
Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 annimmt.
Hier noch ein Video, das die Berechnung des Skalarprodukts erklärt:
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