Lösung
Ermitteln einer Entscheidungsregel
Für die Nullhypothese $H_0$ gilt: $p \le 0,8$.
Für unsere Entscheidungsregel ist also ein k zu finden, mit dem P gerade noch unter 80% liegt.
Die Alternativhypothese $H_1$ wird entsprechend angenommen, wenn $p> 0,8$, also ab k+1 Kunden.
Legen wir die Normalverteilung mit den Parametern $n=225$ und $p=0,8$ zugrunde,
so gilt für die Wahrscheinlichkeit
$P(Z \ge k+1) \le 0,1 \Rightarrow 1-P(Z \le k) \le 0,1 \Rightarrow P(Z \le k) \ge 0,9$.
Der Erwartungswert $\mu$ ist $\mu= p \cdot n = 0,8 \cdot 225 =180$;
$\sigma$ ist entsprechend $\sigma=\sqrt{180 \cdot 0,2}=6$.
Für $\Phi \left( \frac{k-180+0,5}{6} \right) \ge 0,9$
ergibt sich (nach Tabelle oder mit dem Taschenrechner)
$k \ge 187,19$.
Damit ergibt sich als Annahmebereicht für $H_0: \quad A= \{0, ..., 188 \}$,
Ablehnungsbereich von $H_0$ (und damit Annahme von $H_1$): $\bar{A}=\{189, ..., 225 \}$.
Zusammenhang von $p$ und dem Fehler 2. Art
Fehler 2. Art bedeutet, dass die Nullhypothese $H_0$ fälschlicherweise angenommen wird.
Also liegt $Z$ in $A$, wobei $0,8 < p \le 1 \Rightarrow f(p)=P_{p;225}(Z\le k)$.
Je größer $p$ ist, desto unwahrscheinlicher werden Trefferzahlen im Annahmebereich von $H_0$.
Die Funktion $f(p)$ ist daher eine (streng) monoton fallende Funktion.
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