Diskrete Bahnradien
Wir wollen uns nun mit der Berechnung der Bahnradien $r_n$ des Bohrschen Atommodells befassen. Dazu benötigen wir folgende Voraussetzung:
- Wir betrachten ein Ein-Elektronen-Atom mit der Kernladungszahl $Z$, was einem Atom mit einem Elektron in der Elektronenhülle und $Z$ Protonen im Kern entspricht.
Die zwischen dem Elektron der Ladung $e$ und dem Kern der Ladung $Ze$ wirkende anziehende Kraft ist die bekannte Coulombkraft (siehe auch Kap. Ladungen und Felder).
Bahnradien $r_n$
Methode
Berechnung
Das Kräftegleichgewicht auf der n-ten Bohrschen Bahn bedeutet, dass die Coulombkraft betraglich gleich der Zentrifugalkraft ist.
$\frac{m_ev^2_n}{r_n}=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2_n}$ Kräftegleichgewicht,
woraus man durch Umformung nach $r_n$ zu folgender Gleichung gelangt
$r_n=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0m_ev^2_n}$.
Als weitere Gleichung benötigt man das 1. Bohrsche Postulat.
$m_ev_nr_n=n\hbar=n\frac{h}{2\pi}$ 1. Bohrsches Postulat
$\Rightarrow v_n=n\frac{h}{2\pi m_er_n}$
Wir können nun diese Formel für $v_n$ in die oben gewonnene Formel für $r_n$ einsetzen. Entsprechend eingesetzt folgt dann:
$r_n=\frac{Ze^2\pi m_er_n^2}{\epsilon_0n^2h^2} \quad \Leftrightarrow \quad r_n=\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi Ze^2m_e}n^2$
Damit haben wir den Bahnradius $r_n$ der n-ten Bohrschen Bahn in Abhängigkeit von der Hauptquantenzahl $n$ bestimmt.
Merke
Nach dem Bohrschen Atommodell wächst der Bahnradius $r_n$ quadratisch mit der Hauptquantenzahl $n$; in Formeln hat man die Proportionalität
$r_n\sim n^2$.
Genauer gesagt ist, wie oben kalkuliert,
$r_n=\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi Ze^2m_e}n^2$.
Insbesondere besagt das Resultat, dass es nur diskrete Bahnradien gibt.
Kleinster Bahnradius im Wasserstoffatom
Beispiel
Da es sich um Wasserstoff handelt, ist $Z=1$ einzusetzen. Darüber hinaus wählt man $n=1$, weil wir nach dem kleinsten Bahnradius suchen.
$h=6,626\times 10^{-34}Js$
$e=1,602\times 10^{-19}C$
$m_e=9,1\times 10^{-31}kg$
$\epsilon_0=8,854\times 10^{-12}\frac{As}{Vm}$
$\Rightarrow r_1=\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi e^2m_e}=0,53\times 10^{-10} m$
Der berechnete Radius vermittelt relativ gut, in welchen Dimensionen wir uns im Atom bewegen.
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