Diskrete Bahnradien
Bohrsches Atommodell
Wir wollen uns nun mit der Berechnung der Bahnradien $r_n$ des Bohrschen Atommodells befassen. Dazu benötigen wir folgende Voraussetzung:
- Wir betrachten ein Ein-Elektronen-Atom mit der Kernladungszahl $Z$, was einem Atom mit einem Elektron in der Elektronenhülle und $Z$ Protonen im Kern entspricht.
Die zwischen dem Elektron der Ladung $e$ und dem Kern der Ladung $Ze$ wirkende anziehende Kraft ist die bekannte Coulombkraft (siehe auch Kap. Ladungen und Felder).
Bahnradien $r_n$
Methode
Berechnung
Das Kräftegleichgewicht auf der n-ten Bohrschen Bahn bedeutet, dass die Coulombkraft betraglich gleich der Zentrifugalkraft ist.
$\frac{m_ev^2_n}{r_n}=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2_n}$ Kräftegleichgewicht,
woraus man durch Umformung nach $r_n$ zu folgender Gleichung gelangt
$r_n=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0m_ev^2_n}$.
Als weitere Gleichung benötigt man das 1. Bohrsche Postulat.
$m_ev_nr_n=n\hbar=n\frac{h}{2\pi}$ 1. Bohrsches Postulat
$\Rightarrow v_n=n\frac{h}{2\pi m_er_n}$
Wir können nun diese Formel für $v_n$ in die oben gewonnene Formel für $r_n$ einsetzen. Entsprechend eingesetzt folgt dann:
$r_n=\frac{Ze^2\pi m_er_n^2}{\epsilon_0n^2h^2} \quad \Leftrightarrow \quad r_n=\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi Ze^2m_e}n^2$
Damit haben wir den Bahnradius $r_n$ der n-ten Bohrschen Bahn in Abhängigkeit von der Hauptquantenzahl $n$ bestimmt.
Merke
Nach dem Bohrschen Atommodell wächst der Bahnradius $r_n$ quadratisch mit der Hauptquantenzahl $n$; in Formeln hat man die Proportionalität
$r_n\sim n^2$.
Genauer gesagt ist, wie oben kalkuliert,
$r_n=\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi Ze^2m_e}n^2$.
Insbesondere besagt das Resultat, dass es nur diskrete Bahnradien gibt.
Kleinster Bahnradius im Wasserstoffatom
Beispiel
Da es sich um Wasserstoff handelt, ist $Z=1$ einzusetzen. Darüber hinaus wählt man $n=1$, weil wir nach dem kleinsten Bahnradius suchen.
$h=6,626\times 10^{-34}Js$
$e=1,602\times 10^{-19}C$
$m_e=9,1\times 10^{-31}kg$
$\epsilon_0=8,854\times 10^{-12}\frac{As}{Vm}$
$\Rightarrow r_1=\frac{\epsilon_0 h^2}{\pi e^2m_e}=0,53\times 10^{-10} m$
Der berechnete Radius vermittelt relativ gut, in welchen Dimensionen wir uns im Atom bewegen.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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