Diskrete Energiezustände

Für die kinetische Energie kennen wir den allgemeinen Ausdruck aus der Mechanik.

$E_{kin,n}=\frac{1}{2}m_ev^2_n$

Nun besteht der nächste Schritt darin, die Bahngeschwindigkeit $v_n$ in Abhängigkeit von $n$ zu bestimmen. Dies geschieht prinzipiell auf die gleiche Weise wie die Bestimmung der Formel für $r_n$. Es resultiert (siehe Übungen)

$v_n=\frac{Ze^2}{2\epsilon_0h}\frac{1}{n}$. Und schließlich

$\Rightarrow E_{kin,n}=\frac{1}{2}m_e(\frac{Ze^2}{2\epsilon_0hn})^2=\frac{m_ee^4}{8\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}.$

Nun müssen wir über die potentielle Energie des Elektrons im Coulombfeld des Atomkerns nachdenken. Um die potentielle Energie $E_{pot,n}$ im Abstand $r_n$ zu bestimmen, muss man sich über die (elektrische) Arbeit $W_{\infty\to r_n}$ Gedanken machen, die zu verrichten ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen in den Abstand $r_n$ vom Kern zu bringen.
Dazu bedienen wir uns eines Kraftintegrals, das im Kap. Ladungen und Felder genauer erläutert wird und die gesuchte Arbeit ergibt.

$E_{pot,n}=W_{\infty\to r_n}=\int_{\infty}^{r_n}\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\,dr=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\left.(\frac{1}{r})\right|_{\infty}^{r_n}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r_n} $

Mit der zuvor bestimmten Formel für $r_n$ kommt man zu dem Ergebnis

$\Rightarrow E_{pot,n}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r_n}=-\frac{m_e e^4}{4\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}$

Es bleibt noch die Addition der beiden Energien, um die Gesamtenergie zu erhalten.

$E_n=E_{kin,n}+E_{pot,n}=\frac{m_ee^4}{8\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}+(-\frac{m_e e^4}{4\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2})=-\frac{m_ee^4}{8\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}$