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Diskrete Energiezustände

Atommodelle
Bohrsches Atommodell

Wir wollen uns nun mit der Berechnung der Energien $E_n$ befassen. Dazu benötigen wir folgende Voraussetzungen:

  • Wir betrachten wieder ein Ein-Elektronen-Atom mit der Kernladungszahl $Z$, was einem Atom mit einem Elektron in der Elektronenhülle und $Z$ Protonen im Kern entspricht.
  • Die Bewegung des Kerns ist vernachlässigbar, wodurch die Energie des Atoms allein durch die Energie des Elektrons bestimmt ist. Die (gesamte) Energie des Elektrons ist die Summe aus seiner kinetischen Energie und seiner potentiellen Energie im Coulombfeld des Kerns.

$E_n=E_{kin,n}+E_{pot,n}$

Wir müssen nun einen Weg finden, um die Summanden im obigen Ausdruck in Abhängigkeit von $n$ zu bestimmen.

Methode

Für die kinetische Energie kennen wir den allgemeinen Ausdruck aus der Mechanik.

$E_{kin,n}=\frac{1}{2}m_ev^2_n$

Nun besteht der nächste Schritt darin, die Bahngeschwindigkeit $v_n$ in Abhängigkeit von $n$ zu bestimmen. Dies geschieht prinzipiell auf die gleiche Weise wie die Bestimmung der Formel für $r_n$. Es resultiert (siehe Übungen)

$v_n=\frac{Ze^2}{2\epsilon_0h}\frac{1}{n}$. Und schließlich

$\Rightarrow E_{kin,n}=\frac{1}{2}m_e(\frac{Ze^2}{2\epsilon_0hn})^2=\frac{m_ee^4}{8\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}.$

Nun müssen wir über die potentielle Energie des Elektrons im Coulombfeld des Atomkerns nachdenken. Um die potentielle Energie $E_{pot,n}$ im Abstand $r_n$ zu bestimmen, muss man sich über die (elektrische) Arbeit $W_{\infty\to r_n}$ Gedanken machen, die zu verrichten ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen in den Abstand $r_n$ vom Kern zu bringen.
Dazu bedienen wir uns eines Kraftintegrals, das im Kap. Ladungen und Felder genauer erläutert wird und die gesuchte Arbeit ergibt.

$E_{pot,n}=W_{\infty\to r_n}=\int_{\infty}^{r_n}\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\,dr=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\left.(\frac{1}{r})\right|_{\infty}^{r_n}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r_n} $

Mit der zuvor bestimmten Formel für $r_n$ kommt man zu dem Ergebnis

$\Rightarrow E_{pot,n}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r_n}=-\frac{m_e e^4}{4\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}$

Es bleibt noch die Addition der beiden Energien, um die Gesamtenergie zu erhalten.

$E_n=E_{kin,n}+E_{pot,n}=\frac{m_ee^4}{8\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}+(-\frac{m_e e^4}{4\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2})=-\frac{m_ee^4}{8\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}$

Merke

Diskrete Energiezustände des Atoms

Die Energien des Atoms sind durch die folgende Formel gegeben

$E_n=-\frac{m_ee^4}{8\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}$

und da $n$ nur alle natürlichen Zahlen $\mathbb N$ ausser der Null durchläuft, sind die Energiezustände diskret. Man erkennt hier übrigens die Proportionalität

$E_n\sim -\frac{1}{n^2}$.

Beispiel

Energiezustände im H-Atom

Mit $Z=1$ und den eingesetzten Naturkonstanten resultiert die folgende Formel

$E_n=-13,6\frac{1}{n^2}eV$,

die in der Einheit des Elektronenvolts angegeben ist. Diese Einheit wird in der Atom- und Kernphysik sowie der Teilchenphysik durchgehend benutzt.

Ein Nachteil des Bohrschen Atommodells geht aus den Überlegungen klar hervor. Nur wenn Einelektronensystem vorliegen, lassen sich die Formeln verwenden. Solche Einelektronensysteme können z.B. Ionen sein, wie

  • $He^+$
  • $Li^{++}$...
Multiple-Choice
Warum sind die Energiewerte $E_n$ von Einelektronensystemen (Wasserstoff, $He^+$ etc.) negativ?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Atomphysik und KernphysikAtomphysik und Kernphysik
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Atomphysik und Kernphysik

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    • Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms
      • Einleitung zu Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms
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    • Einleitung zu Atommodelle
    • Bohrsches Atommodell
      • Einleitung zu Bohrsches Atommodell
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      • Termschema, Spektrallinien- Wasserstoffatom
    • Moderne Atommodelle der Quantenmechanik
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