Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter
Ausgehend von unserer Analyse der Lorentz-Kraft auf einzelne Ladungen in einem Magnetfeld, wollen wir versuchen, die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter herzuleiten. Dabei nehmen wir an, dass der Leiter ein Draht der Länge $l$ ist.
Die durch den Leiter fliessende Stromstärke sei $I$ und der Querschnitt des Leiters $A$. Auf jedes im Drahtstück befindliche Elektron der Ladung $e$ wirkt die Lorentzkraft
$\vec{F}_{i}=e\vec{v}\times \vec{B}$,
wobei $\vec{v}$ die mittlere Geschwindigkeit des Elektrons ist und $\vec{B}$ ein Magnetfeld repräsentiert. Wir setzen voraus, dass das Magnetfeld $\vec{B}$ homogen ist. Dies bedeutet, dass der Betrag und die Richtung von $\vec{B}$ entlang des Drahtes konstant bleiben.
Dann ist die auf den Leiter wirkende Gesamtkraft durch die Summe der Lorentz-Kräfte auf die einzelnen $N$ Elektronen gegeben:
$\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{i}=Ne\vec{v}\times \vec{B}$
Hier bezeichnet $N$ die Anzahl der Elektronen, die sich im Drahtstück der Länge $l$ und des Querschnitts $A$ befinden.
Definieren wir nun die Teilchenzahldichte $n$ als Anzahl der Elektronen pro Volumeneinheit, so erhält man als Formel ausgedrückt
$n=\frac{N}{V}$.
Nun ist das Volumen $V$ durch $V=A\cdot l$ berechenbar. Auf dieser Basis formulieren wir für die durch den Leiter fliessende Ladung $Q=Ne$ die Gleichung
$Q=Ne=n\cdot V\cdot e=n\cdot A\cdot l\cdot e$.
Man entsinne sich nun folgender Definition der Stromstärke $I$.
Merke
Definition:
Fliesst in einem Leiter pro Zeitintervall $\Delta t$ die Ladung $\Delta Q$, so dass der Quotient
$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$
stets konstant ist, so definert $I$ einen (konstanten) Gleichstrom.
Auch im Fall eines nicht konstanten Verhältnisses lässt sich eine Stromstärke definieren. Dann ist jedoch der Differentialquotient bzw. die Ableitung zu bilden
$I:=\lim_{t\to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta t}$.
Die oben erwähnte Ladung $Q$ hat zum Durchqueren der Drahtlänge $l$ die Zeit $T$ benötigt. Mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit $v$ gilt
$v\cdot T=l \Rightarrow T=\frac{l}{v}$,
woraus wir die Zeit $T$ ermittelt haben. Damit lässt sich nun die Stromstärke weiter umschreiben
$I=\frac{Q}{T}=\frac{Q\cdot v}{l}$.
Dieser Zusammenhang liefert eine Formel für die Ladung $Q$. Man erhält durch Umformung ganz einfach
$Q=\frac{I\cdot l}{v}$,
was man dann in die Formel für die Gesamtkraft auf den Leiter einsetzen kann, wobei die Gleichung $Q=Ne$ zu berücksichtigen ist.
Merke
Gesamtkraft auf den stromdurchflossenen Leiter der Länge $l$
Die Gesamtkraft $\vec{F}$, welche man durch Summation $\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_{i}$ erhält, lautet:
$\vec{F}=I\cdot l\frac{\vec{v}}{v}\times \vec{B}$
Hier bezeichnen $I$ die Stromstärke, $l$ die Länge des Leiters und $v$ die Geschwindigkeit bzw. den Betrag der Geschwindigkeit.
Den Betrag $F$ der Kraft $\vec{F}$ kann man wie im vorigen Abschnitt berechnen:
$F=I\cdot lB\sin{\alpha}$
Wie man erkennt, ist die Kraft proportional zu $B$ und zu $I$ und damit ein Maß für ihre Stärke.
Auffällig im obigen Ausdruck für die Kraft ist, dass sie von mikroskopischen Prozessen im Leiter unabhängig ist.
Hinweis
Aufgrund des Kraftgesetzes zwischen $F$, $B$ und $I$ kann man sowohl Stromstärken als auch Stärken von Magnetfeldern messen. Es ist als Grundlage für elektrische Meßgeräte zu verstehen: Die Kraftwirkung auf stromdurchflossene Leiter in Magnetfeldern bewirkt eine Ablenkung, aus der man zum Beispiel auf die Stromstärke schliessen kann.
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