Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter

Ausgehend von unserer Analyse der Lorentz-Kraft auf einzelne Ladungen in einem Magnetfeld, wollen wir versuchen, die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter herzuleiten. Dabei nehmen wir an, dass der Leiter ein Draht der Länge $l$ ist.

Die durch den Leiter fliessende Stromstärke sei $I$ und der Querschnitt des Leiters $A$. Auf jedes im Drahtstück befindliche Elektron der Ladung $e$ wirkt die Lorentzkraft

$\vec{F}_{i}=e\vec{v}\times \vec{B}$,

wobei $\vec{v}$ die mittlere Geschwindigkeit des Elektrons ist und $\vec{B}$ ein Magnetfeld repräsentiert. Wir setzen voraus, dass das Magnetfeld $\vec{B}$ homogen ist. Dies bedeutet, dass der Betrag und die Richtung von $\vec{B}$ entlang des Drahtes konstant bleiben.

Dann ist die auf den Leiter wirkende Gesamtkraft durch die Summe der Lorentz-Kräfte auf die einzelnen $N$ Elektronen gegeben:

$\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{i}=Ne\vec{v}\times \vec{B}$

Hier bezeichnet $N$ die Anzahl der Elektronen, die sich im Drahtstück der Länge $l$ und des Querschnitts $A$ befinden.

Definieren wir nun die Teilchenzahldichte $n$ als Anzahl der Elektronen pro Volumeneinheit, so erhält man als Formel ausgedrückt

$n=\frac{N}{V}$.

Nun ist das Volumen $V$ durch $V=A\cdot l$ berechenbar. Auf dieser Basis formulieren wir für die durch den Leiter fliessende Ladung $Q=Ne$ die Gleichung

$Q=Ne=n\cdot V\cdot e=n\cdot A\cdot l\cdot e$.

Man entsinne sich nun folgender Definition der Stromstärke $I$.

Die oben erwähnte Ladung $Q$ hat zum Durchqueren der Drahtlänge $l$ die Zeit $T$ benötigt. Mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit $v$ gilt

$v\cdot T=l \Rightarrow T=\frac{l}{v}$,

woraus wir die Zeit $T$ ermittelt haben. Damit lässt sich nun die Stromstärke weiter umschreiben

$I=\frac{Q}{T}=\frac{Q\cdot v}{l}$.

Dieser Zusammenhang liefert eine Formel für die Ladung $Q$. Man erhält durch Umformung ganz einfach

$Q=\frac{I\cdot l}{v}$,

was man dann in die Formel für die Gesamtkraft auf den Leiter einsetzen kann, wobei die Gleichung $Q=Ne$ zu berücksichtigen ist.

Wie man erkennt, ist die Kraft proportional zu $B$ und zu $I$ und damit ein Maß für ihre Stärke.

Auffällig im obigen Ausdruck für die Kraft ist, dass sie von mikroskopischen Prozessen im Leiter unabhängig ist.