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Aufgrund der $\alpha$- und $\beta$-Zerfälle findet ja eine Umwandlung der Kerne des Ausgangsnuklids statt. Das bedeutet ja zunächst auf qualitativer Ebene, dass die Anzahl der Kerne des Ausgangsnuklids mit der Zeit abnimmt.

Wir wollen nun diese radioaktiven Kernzerfälle mathematisch genauer beschreiben. Entscheidend ist dabei die Frage, wie viele Kerne eines Ausgangsnuklids nach einer Zeit $t$ übrig bleiben.

Zum Zerfallsgesetz
Zum Zerfallsgesetz: Anzahl $N$ der Kerne eines Nukilds in Abhängigkeit von der Zeit $t$

Zerfallsgesetz

Der radioaktive Zerfall ist ein stochastischer (zufallsbedingter) Prozess, weil man nicht vorhersagen kann, wann genau jeder einzelne Kern zerfällt. Für eine große Anzahl von Kernen lässt sich aber mit statistischen Mitteln ein Gesetz gewinnen, welches den radioaktiven Zerfall exakt beschreibt.

Merke

Ist $N_0$ die Anzahl der Kerne des Ausgangsnuklids, so beträgt die Anzahl der Kerne dieses Nuklids nach einer Zeit $t$

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}$

$\lambda$ heißt dabei Zerfallskonstante des entsprechenden Nuklids.

Halbwertszeit $T_{1/2}$

Merke

Die Halbwertszeit ist diejenige Zeit, nach der die Hälfte der Kerne des Ausgangsnuklid zerfallen ist.

Mit Hilfe des Zerfallsgesetzes kann man die Halbwertszeit $T_{1/2}$ allein durch die Zerfallskonstante $\lambda$ darstellen.

$N(T_{1/2})=\frac{N_0}{2} \quad \Rightarrow \quad N_0\cdot e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{N_0}{2}\quad \Rightarrow \quad e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{1}{2} $

Invertiert man nun die letzte Gleichung durch Bildung des Logarithmus, erhält man

$-\lambda\cdot T_{1/2}=\ln{\frac{1}{2}}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2$

$\Rightarrow T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$

Merke

Zwischen Halbwertszeit $T_{1/2}$ und Zerfallskonstante $\lambda$ eines bestimmten Nuklids besteht der Zusammenhang

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$

Video: Das Zerfallsgesetz

Dargestellt wird das fundamentale statistische Zerfallsgesetz sowie damit zusammenhängende Größen und Begriffe wie Halbwertszeit, Zerfallskonstante und Aktivität.

Beispiel

Zerfallskonstante für Cäsium-137

Als Beispiel wollen wir die Zerfallskonstante für das radioaktive Cs-137 bestimmen.

In einer Messung wird festgestellt, dass nach etwa nach 60 Jahren 3/4 des Nuklids zerfallen ist.

Wie groß ist dann die Zerfallskonstante $\lambda$?

Antwort:

Durch Umformung des Zerfallsgesetzes bekommt man $\frac{\ln({\frac{N_0}{N(t)}})}{t}=\lambda$. Es ist $N(60 a)=\frac{1}{4}N_0$. (a steht für Jahre)

$\Rightarrow \lambda=\frac{\ln 4}{60a}=0,023 a^{-1}$

Die Halbwertszeit ist gemäss obiger Formel $T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}=\frac{\ln 2}{0,023 a^{-1}}\approx 30 a$ (ca. 30 Jahre)

Aktivität

Es ist im Rahmen des Zerfalls eines radioaktiven Nuklids auch wichtig zu wissen, wie stark er strahlt (Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit). Die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit lässt sich zunächst so schreiben

$-\frac{\Delta N}{\Delta t}$.

Darin ist $-\Delta N=-(N(t+\Delta t)-N(t))$ die Anzahl der zerfallenen Kerne innerhalb eines Zeitintervalls $\Delta t$.

Aus der Analysis sollte man wissen, dass solche Differentialquotienten benutzt werden, um die Ableitung bzw. die momentane Änderungsrate zu definieren.

Merke

Die Aktivität $A$ eines radioaktiven Nuklids ist definiert als die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit.

$A(t):=-\dot N(t)$

$\dot N(t)$ ist die Ableitung von $N(t)$ nach der Zeit $t$.

Differenzieren wir nun entsprechend der Definition, so bekommen wir

$A(t)=-\dot N(t)=N_0\cdot \lambda \cdot e^{-\lambda t}=\lambda \cdot N(t)$.

Die Einheit ist $[A]=1 Bq=1 s^{-1}$ und heißt Becquerel (Bq).

Man beachte, dass Nachweisgeräte wie das Geiger-Müller-Zählrohr gerade die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde, also die Aktivität eines spezifischen Nuklids, messen.

Nuklidkarte

Video: Das Zerfallsgesetz

Dargestellt wird das fundamentale statistische Zerfallsgesetz sowie damit zusammenhängende Größen und Begriffe wie Halbwertszeit, Zerfallskonstante und Aktivität.
Multiple-Choice
Im Kurstext haben wir den Begriff Aktivität eines radioaktiven Nuklids definiert.

Von welchen der folgenden Parametern ist die Aktivität eines radioaktiven Nuklids abhängig?
0/0
Lösen

Hinweis:

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Vorstellung des Online-Kurses Atomphysik und KernphysikAtomphysik und Kernphysik
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Atomphysik und Kernphysik

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