Selbstinduktion
Wir wissen, dass eine Änderung des magnetischen Flusses durch ein von außen wirkendes Magnetfeld in einer Spule eine Spannung induziert.
Ein-und Ausschaltvorgang des Spulenstroms
Doch wie sieht es nun mit dem Magnetfeld der Spule selbst aus?
Das Magnetfeld der Spule durchflutet ja die Spule selbst und sorgt für einen magnetischen Fluss. Eine Änderung der Spulen- Stromstärke führt zunächst zu einer Änderung der Magnetfeldstärke und damit zu einer magnetischen Flussänderung in der Spule. Die wesentliche Frage ist also:
- Ist diese der Spule eigene Flussänderung auch mit einer Induktionsspannung verbunden? Gibt es also das Phänomen der Selbstinduktion?
Methode
Man kann die Frage beantworten, indem man die Stromstärke $I$ der Spule beim Ein- und Abschaltvorgang (durch einen im Schaltkreis eingebauten Schalter) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ misst.
Das Ergebnis sei hier qualitativ skizziert:
- Beim Einschalten steigt der Strom $I(t)$ langsam, bis er einen Grenzwert $I$ erreicht.
- Beim Ausschalten sinkt der Strom $I(t)$ langsam auf Null ab.
Dieses Beobachtung kann nur erklärt werden, wenn es tatsächlich eine Selbstinduktion gibt:
- Nach der Lenzschen Regel ist nämlich der resultierende Strom in der Spule so gerichtet, dass er seiner Ursache (also der magnetischen Flussänderung, hervorgerufen durch Einschalten bzw. Abschalten) entgegegenwirkt. Ein Stromfluss kann ja nur hervorgerufen werden, wenn es eine Spannung gibt. Diese Spannung nennt man Selbstinduktionsspannung.
Merke
In der Spule tritt eine Selbstinduktion auf.
Die hervorgerufene Selbstinduktionsspannung wirkt der Stromstärkeänderung entgegen. Sie verzögert somit das Anwachsen bzw. Abfallen der Stromstärke beim Ein- bzw. Abschaltvorgang.
(Selbst-) Induktivität $L$ einer Spule
Wir formulieren nun die Selbstinduktionsspannung einer Spule ohne Spulenkern. Der bekannte Ansatz lautet für eine Spule mit $N$ Windungen
$U_{ind}=-N\dot \Phi$
Der magnetische Fluss wird durch $\Phi=B\cdot A$ beschrieben, wobei $B$ die magnetische Flussdichte und $A$ die Querschnittsfläche der Spule ist.
Eine Spule, die von einem Strom $I$ durchflossen wird, weist in ihrem Innern eine (homogene) Magnetfeld-Flussdichte $ B=\mu_0\frac{N}{l}\cdot I$ auf. Diesen Ausdruck für $B$ setzen wir ein
$\Rightarrow \Phi=B\cdot A=\mu_0\frac{N}{l}\cdot I\cdot A$
Durch Anwendung des Induktionsgesetzes bekommen wir
$U_{ind}=-N\cdot \frac{d}{dt}{(\mu_0\frac{N}{l}\cdot I\cdot A)}$
Man beachte, dass hier die Ableitung in der Form $\frac{d}{dt}$ statt eines Punktes über der Funktion geschrieben. Welche Darstellung man verwendet, hängt von der übersichtlicheren Schreibweise auf.
Der Faktor $\mu_0\frac{N}{l}\cdot A$ ist konstant und kann vor die Klammer gezogen werden; somit folgt zusammengefasst
$U_{ind}=-N\cdot \mu_0\frac{N}{l}\cdot A\cdot \frac{d}{dt}I=-\mu_0\cdot \frac{N^2\cdot A}{l}\cdot \dot I$
Merke
Die Selbstinduktionsspannung einer Spule kann zusammenfassend als
$U_{ind}=-L\cdot \dot I$
geschrieben werden.
Der Faktor $L$ heißt (Selbst-)Induktivität einer Spule. Für eine Spule ohne Kern gilt
$L=\mu_0\cdot \frac{N^2\cdot A}{l}$
$N$: Windungszahl; $A$: Querschnittsfläche; $l$: Länge der Spule
$\mu_o$: magnetische Feldkonstante
Die Einheit der Induktivität ist Henry: [L]=1 H=1 Vs/A.
Hinweis
Die Induktivität einer Spule mit einem Kern aus ferromagnetischem Material (z.B. Eisen) vergrößert sich um die Permeabilitätszahl $\mu_r$ des Materials.
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