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Homogenes Feld

Kommen wir nun zu dem homogenen elektrischen Feld, welches eine noch einfachere Konfiguration als das radialsymmetrische Feld besitzt.

Es wird sich zeigen, dass das homogene elektrische Feld in allen Punkten des Raumes eine konstante Richtung und einen konstanten Betrag besitzt. Es ist somit das einfachste denkbare elektrische Feld. Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich das homogene elektrische Feld im Experiment realisieren?

Betrachten wir dazu zwei hinreichend große entgegengesetzt geladene metallische Platten, die einander gegenüber im Abstand $d$ aufgestellt sind. Man spricht bei dieser Anordnung typischerweise von einem Plattenkondensator. Der Kondensator wird durch eine Spannungsquelle der Gleichspannung $U$ aufgeladen und anschließend von der Quelle getrennt. Dadurch bildet sich auf der einen Platte eine positive und auf der anderen eine negative Ladung aus.

Methode

An dieser Stelle sollten wir ein intuitives Verständnis vom Feldlinienverlauf entwickeln. Es ist zwar richtig, dass die Physik mit strengen mathematischen Beweisen arbeitet. Dennoch beginnt das Verständnis mit der Intuition für physikalische Phänomene und endet mit dem strengen Beweis.

 

Es zeigt sich also, dass bei der Anordnung des Plattenkondensators das elektrische Feld $\vec{E}$ im Innern wie folgt beschrieben werden kann:

$\vec{E}=const.$

Man beachte dabei, dass diese Gleichung lediglich im Innern richtig ist. Am Rand des Plattenkondensators treten sogenannte Randeffekte auf; das heißt insbesondere, dass das elektrische Feld am Rand gekrümmt wird und damit auch nicht mehr homogen ist.

Beispiel

Für das homogene elektrische Feld bzw. den Plattenkondesator finden sich zahlreiche physikalische Anwendungen:

  • Ablenkkondensatoren in der Braunschen Röhre
  • im Geschwindigkeitsfilter/Wien-Filter

Der Grund für den Einsatz des homogenen elektrischen Feldes bzw. des ihn erzeugenden Plattenkondensators ergibt sich aus der Möglichkeit, elektrische Ladungen in der Bewegung gezielt zu steuern.

Wie eingangs besprochen, üben elektrische Felder Kräfte auf elektrisch geladene Objekte aus. Das homogene elektrische Feld bietet nun eine optimale Feldkonfiguration, um die Wirkung der elektrischen Kraft auf den Bewegungsablauf von Ladungen in elektrischen Feldern zu verstehen. Deshalb sollten wir diese Gelegenheit ausnutzen, um einige typische Rechenmethoden einzuüben.

Du (der Leser/Abiturient) solltest unbedingt die Aufgaben nachrechnen, um den physikalischen und mathematischen Gedankengang zu verstehen.

Methode

Bewegungsablauf und Ablenkung eines geladenen Teilchens im homogenen Feld des Plattenkondensators

Nehmen wir an, dass sich ein Elektron der Elementarladung $e$ mit konstanter Geschwindigkeit $v_{z}$ durch die Mitte eines Plattenkondensators bewegt. Der Plattenkondesator wird durch eine Gleichspannung aufgeladen. Die obere Platte sei dabei negativ und die untere Platte positiv geladen.

  1. Beschreibe den Bewegungsablauf des Elektrons innerhalb des Plattenkondensators. Berechne dazu die Weg-Zeit-Gesetze sowohl in $z$- als auch $y$-Richtung (also $z(t)$ und $y(t)$). (Hinweis: Die Gravitationskraft, die zusätzlich auf das Elektron wirkt, kann vernachlässigt werden.)
  2. Wie groß ist die maximale Ablenkung $y_{max}$ des Elektrons in $y$-Richtung, wenn das Elektron den Plattenkondensator (Gesamtlänge $L$) verlässt? (Beachte auch die Richtung!)

Versuche die Aufgabe zunächst eigenständig zu lösen, bevor Du dir sofort die Lösung des Problems anschaust.

Lösungsvorschlag: Ich biete hier eine mögliche Lösung des Problems an. Falls Du andere Wege findest, die zum gleichen Ergebnis führen, dann lohnt sich ein Vergleich der Methoden.

1.

a) Analyse der Bewegung in $y$-Richtung:

Zunächst weiß man, dass aufgrund der angelegten Gleichspannung ein homogenes elektrisches Feld im Innern des Plattenkondensators herrscht. Das Feld $\vec{E}$ zeigt wegen der Anordnung der Platten in $y$-Richtung. Nach der Gleichung $\vec{F}=e\vec{E}$ wirkt auf das Elektron also nur eine elektrische Kraft in $y$-Richtung, da die Gravitationskraft vernachlässigt werden kann. Die Newtonschen Axiomen besagen, dass die Kraft dabei stets gleich dem Produkt aus Masse ($m$) und Beschleunigung ($a$) ist. Also gilt:

$F=eE=ma_{y} \Rightarrow a_{y}=\frac{e}{m}E$.

Dadurch erfährt das Elektron eine konstante Beschleunigung $a_{y}$ in $y$-Richtung. Aus der Mechanik weiß man, dass Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ist, woraus die Beziehung

$\dot{v}_{y}=a_{y}\Rightarrow v_{y}=a_{y}t$

folgt. $a_{y}$ ist nach der ersten Gleichung zeitlich konstant. Es stellt sich die Frage, welche Funktion man ableiten muss, um eine konstante Funktion zu bekommen. Die Antwort ist ganz einfach $a_{y}t$. Weiterhin ist bekannt, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Weges ist. Also bekommt man mit der vorigen Gleichung:

$\dot{y}(t)=v_{y}=a_{y}t$.

Um diese Gleichung (sogenannte Differentialgleichung) zu lösen, kann man folgenden Trick benutzen: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung der Stammfunktion gleich der Funktion selbst. Die Stammfunktion von $a_{y}t$ ist das Integral

$\int a_{y}t\, dt=\frac{1}{2}a_{y}t^{2}+y_{0}$.

Zum Zeitpunkt $t=0$, also beim Eintritt in den Kondensator, befand sich das Elektron im Punkt $y(0)=y_{0}=0$. Kombiniert mit der ersten Gleichung für $a_{y}$ erhält man die Funktion

$y(t)=\frac{1}{2}a_{y}t^{2}=\frac{e}{2m}Et^{2}$.

b) Analyse der Bewegung in $z$-Richtung:

Da in $z$-Richtung keine Kraft wirkt, bewegt sich das Elektron in dieser Richtung mit der konstanten Geschwindigkeit $v_{z}$. Daraus folgt

$z(t)=v_{z}t$.

2.

Um die maximale Ablenkung bestimmen zu können, muss man die Zeit $T$ für das Durchqueren des Kondensators der Länge $L$ kennen. Mit Hilfe von $z(t)$ erhält man die entsprechende Zeit $T$:

$z(T)=v_{z}T=L \Rightarrow T=\frac{L}{v_{z}}$.

Eingesetzt in die Gleichung für $y(t)$ erhält man die maximale Ablenkung $y_{max}=y(T)$ beim Austritt aus dem Kondensator

$y_{max}=y(T)=\frac{e}{2m}E(\frac{L}{v_{z}})^2$.

(m ist hier natürlich die Masse des Elektrons.)

Wichtig

Folgenden Hinweis möchte ich bezüglich der Aufgabe noch geben: Die (momentane) Geschwindigkeit (z.B. eines Teilchens) ist die Ableitung der Weg-Funktion nach der Zeit. Die Beschleunigung ist als Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit definiert.

Daher kann man durch Umkehrung, das heißt Integration, von der Beschleunigung zur Geschwindigkeit gelangen. Führt man dann eine Integration der Geschwindigkeitsfunktion aus, so erhält man die Weg-Funktion.

Vorstellung des Online-Kurses Ladungen und FelderLadungen und Felder
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Ladungen und Felder

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  • Feldkonzept- allgemeiner Überblick
    • Einleitung zu Feldkonzept- allgemeiner Überblick
    • Skalarfeld
    • Vektorfeld
  • Elektrische Ladungen und Felder
    • Einleitung zu Elektrische Ladungen und Felder
    • Elektrische Feldkonfigurationen
      • Einleitung zu Elektrische Feldkonfigurationen
      • Radialsymmetrisches Feld
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    • Arbeit im elektrischen Feld
    • Eigenschaften des elektrischen Feldes
  • Elektrische Ströme und magnetische Felder
    • Einleitung zu Elektrische Ströme und magnetische Felder
    • Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter
    • Magnetische Feldkonfigurationen
  • Bewegungen von Ladungsträgern in elektrischen und magnetischen Feldern
    • Einleitung zu Bewegungen von Ladungsträgern in elektrischen und magnetischen Feldern
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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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