Radialsymmetrisches Feld

Der französische Physiker Coulomb stellte fest, dass es eine besondere Beziehung zwischen der aufeinander wirkenden Kraft $F$ zweier punktförmiger Ladungen $q$ und $Q$ und ihrem Abstand $r$ gibt.

Man kann auch die vektorielle Form des Coulombschen Gesetzes herleiten: Lässt man die Ladung $Q$ zum Beispiel im Punkt $(0,0,0)$ des Raumes fest und bewegt nur die Ladung $q$ entlang eines konstanten Abstandes $r$, so bleibt auch die Kraft betragsmässig konstant. Die Kraft muss dabei in Richtung der Verbindungslinie der beiden Ladungen wirken. Die Richtung jener Verbindungslinie wird aber gerade durch den Vektor $\vec{r}$ beschrieben, den man so darstellen kann:

$\vec{r}=\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)$

Wie aus dem Mathematikunterricht der Oberstufe bekannt, ist der Abstand der Betrag des Vektors $\vec{r}$. Es ergibt sich somit:

$r=\mid\vec{r}\mid=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Man kann nun einen radialen Einheitsvektor $\vec{e}_{r}$ angeben, der den Betrag 1 hat und in Richtung von $\vec{r}$ zeigt:

$\vec{e}_{r}:=\frac{\vec{r}}{\mid\vec{r}\mid}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\left(\begin{array}{c} x\\y\\z\\ \end{array}\right)$

Da die Kraft genau in diese Richtung wirkt, ist die Richtung der Kraft $\vec{F}$ mit der Richtung des radialen Einheitsvektors $\vec{e}_{r}$ identisch. Um nun das vektorielle Gesetz formulieren zu können, muss man den Betrag der Kraft $\vec{F}$ berücksichtigen, der in der obigen Merke-Box gegeben wurde. Folglich erhält man

Zwischen der Kraft $\vec{F}$ und dem elektrischen Feld bzw. der elektrischen Feldstärke $\vec{E}$ hatten wir ja die Beziehung $\vec{F}=q\vec{E}$ festgestellt, wobei $q$ als Probeladung aufgefasst wurde. Daher ist das aus dem Coulombschen Gesetz resultierende elektrische Feld durch

$\vec{E}=\frac{1}{q}\vec{F}=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^2}\vec{e}_{r}$

gegeben.

Betrachtet man das obige elektrische Feld $\vec{E}$ genauer, so stellt man folgendes fest:

1. Wäre die Ladung $Q$ gleich Null, so würde auch das elektrische Feld verschwinden. Man kann also sagen, dass Ladungen allgemein die Ursache elektrischer Felder sind.
2. Das elektrische Feld einer Punktladung $Q$ (siehe oben) besitzt in Raumpunkten, die alle den gleichen Abstand $r$ von der Ladung $Q$ haben und damit eine Kugeloberfläche bilden, die gleiche Feldstärke. Das elektrische Feld $\vec{E}$ zeigt radial nach aussen.

Trägt man nun das elektrische Feld einer Punktladung in ein Koordinatensystem ein, so ergibt sich aufgrund der erwähnten Eigenschaften bzw. der mathematischen Form von $\vec{E}$ eine besondere Symmetrie. Rotiert man nämlich das gezeichnete System, so bleibt es unverändert. Man spricht davon, dass das Feld kugel- bzw. radialsymmetrisch ist.

Radialsymmetrisches Feld einer Punktladung

Die Skizze bezeichnet man als Feldlinienbild und sie zeigt in unserem Fall die zweidimensionale Projektion des radialsymmetrischen Feldes einer Punktladung.

Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass die Punktladung eine Idealisierung bildet. Dennoch ist sie als Denkmodell sehr nützlich. Man kann nämlich zeigen, dass bestimmte kugelförmige Ladungsverteilungen mit realistischer räumlicher Ausdehnung nach aussen hin die gleiche mathematische Form für das elektrische Feld aufweisen.