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Radialsymmetrisches Feld

Der französische Physiker Coulomb stellte fest, dass es eine besondere Beziehung zwischen der aufeinander wirkenden Kraft $F$ zweier punktförmiger Ladungen $q$ und $Q$ und ihrem Abstand $r$ gibt.

Merke

Coulombsches Gesetz:

Der Betrag der Kraft $\vec{F}$ zwischen zwei punktförmigen Ladungen $q$ und $Q$ ist dem Produkt der Ladungen direkt und dem Quadrat ihres Abstandes $r$ umgekehrt proportional. In Formeln bedeutet dies:

$F=\frac{Qq}{4\pi\epsilon r^2}$

Der Faktor $\frac{1}{4\pi\epsilon}$ ist die Proportionalitätskonstante des Gesetzes. $\epsilon$ ist die sogenannte Dielektrizitätskonstante des Mediums, in welchem sich die Ladungen befinden.

Man kann auch die vektorielle Form des Coulombschen Gesetzes herleiten: Lässt man die Ladung $Q$ zum Beispiel im Punkt $(0,0,0)$ des Raumes fest und bewegt nur die Ladung $q$ entlang eines konstanten Abstandes $r$, so bleibt auch die Kraft betragsmässig konstant. Die Kraft muss dabei in Richtung der Verbindungslinie der beiden Ladungen wirken. Die Richtung jener Verbindungslinie wird aber gerade durch den Vektor $\vec{r}$ beschrieben, den man so darstellen kann:

$\vec{r}=\left(\begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right)$

Wie aus dem Mathematikunterricht der Oberstufe bekannt, ist der Abstand der Betrag des Vektors $\vec{r}$. Es ergibt sich somit:

$r=\mid\vec{r}\mid=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Man kann nun einen radialen Einheitsvektor $\vec{e}_{r}$ angeben, der den Betrag 1 hat und in Richtung von $\vec{r}$ zeigt:

$\vec{e}_{r}:=\frac{\vec{r}}{\mid\vec{r}\mid}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\left(\begin{array}{c} x\\y\\z\\ \end{array}\right)$

Da die Kraft genau in diese Richtung wirkt, ist die Richtung der Kraft $\vec{F}$ mit der Richtung des radialen Einheitsvektors $\vec{e}_{r}$ identisch. Um nun das vektorielle Gesetz formulieren zu können, muss man den Betrag der Kraft $\vec{F}$ berücksichtigen, der in der obigen Merke-Box gegeben wurde. Folglich erhält man

Gut zu wissen

$\vec{F}=\frac{Qq}{4\pi\epsilon r^2}\vec{e}_{r}$.

Zwischen der Kraft $\vec{F}$ und dem elektrischen Feld bzw. der elektrischen Feldstärke $\vec{E}$ hatten wir ja die Beziehung $\vec{F}=q\vec{E}$ festgestellt, wobei $q$ als Probeladung aufgefasst wurde. Daher ist das aus dem Coulombschen Gesetz resultierende elektrische Feld durch

$\vec{E}=\frac{1}{q}\vec{F}=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^2}\vec{e}_{r}$

gegeben.

Betrachtet man das obige elektrische Feld $\vec{E}$ genauer, so stellt man folgendes fest:

  1. Wäre die Ladung $Q$ gleich Null, so würde auch das elektrische Feld verschwinden. Man kann also sagen, dass Ladungen allgemein die Ursache elektrischer Felder sind.
  2. Das elektrische Feld einer Punktladung $Q$ (siehe oben) besitzt in Raumpunkten, die alle den gleichen Abstand $r$ von der Ladung $Q$ haben und damit eine Kugeloberfläche bilden, die gleiche Feldstärke. Das elektrische Feld $\vec{E}$ zeigt radial nach aussen.

Trägt man nun das elektrische Feld einer Punktladung in ein Koordinatensystem ein, so ergibt sich aufgrund der erwähnten Eigenschaften bzw. der mathematischen Form von $\vec{E}$ eine besondere Symmetrie. Rotiert man nämlich das gezeichnete System, so bleibt es unverändert. Man spricht davon, dass das Feld kugel- bzw. radialsymmetrisch ist.

Merke

Das elektrische Feld einer Punktladung $Q$, die sich im Koordinatenursprung $(0,0,0)$ befindet, besitzt die Form

$\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon r^2}\vec{e}_{r}$.

Es ist das Paradigma (Musterbeispiel) eines radialsymmetrischen Feldes.

Radialsymmetrisches Feld einer Punktladung
Radialsymmetrisches Feld einer Punktladung

Die Skizze bezeichnet man als Feldlinienbild und sie zeigt in unserem Fall die zweidimensionale Projektion des radialsymmetrischen Feldes einer Punktladung.

Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass die Punktladung eine Idealisierung bildet. Dennoch ist sie als Denkmodell sehr nützlich. Man kann nämlich zeigen, dass bestimmte kugelförmige Ladungsverteilungen mit realistischer räumlicher Ausdehnung nach aussen hin die gleiche mathematische Form für das elektrische Feld aufweisen.

Wichtig

Das hier besprochene Coulombsche Gesetz bzw. das elektrische Feld einer Punktladung lässt sich streng mathematisch aus den sogenannten Maxwellschen Gleichungen ableiten, die das theoretische Fundament der Elektrodynamik bilden.

Multiple-Choice
Folgender Versuch wird durchgeführt:
Zunächst wird die Gewichtskraft auf eine Metallkugel (Radius $r=1,5$ cm), die auf einem Isolierstab positioniert ist, über eine präzise elektronische Waage ermittelt.  Senkrecht dazu wird eine gleiche Metallkugel isoliert befestigt.
geladene Metallkugeln


Der Abstand ist in der Zeichnung durch x angedeutet ($x=64$ cm).
Beide Kugeln werden nun aufgeladen und tragen dann jeweils $3,4\cdot 10^{-8}$ C.
Misst man eine veränderte Kraft auf der Waage? und Warum?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Ladungen und FelderLadungen und Felder
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Ladungen und Felder

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  • Feldkonzept- allgemeiner Überblick
    • Einleitung zu Feldkonzept- allgemeiner Überblick
    • Skalarfeld
    • Vektorfeld
  • Elektrische Ladungen und Felder
    • Einleitung zu Elektrische Ladungen und Felder
    • Elektrische Feldkonfigurationen
      • Einleitung zu Elektrische Feldkonfigurationen
      • Radialsymmetrisches Feld
      • Homogenes Feld
    • Arbeit im elektrischen Feld
    • Eigenschaften des elektrischen Feldes
  • Elektrische Ströme und magnetische Felder
    • Einleitung zu Elektrische Ströme und magnetische Felder
    • Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter
    • Magnetische Feldkonfigurationen
  • Bewegungen von Ladungsträgern in elektrischen und magnetischen Feldern
    • Einleitung zu Bewegungen von Ladungsträgern in elektrischen und magnetischen Feldern
    • Braunsche Röhre
    • Wien-Filter
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