Hall-Effekt

Der von dem Physiker E. H. Hall entdeckte Effekt zeigt, dass in einem stromdurchflossenen Leiter innerhalb eines homogenen MagnetFeldes $\vec{B}$, das senkrecht zur Stromrichtung verläuft, eine Spannung senkrecht zu dieser Stromrichtung und zu $\vec{B}$ ausbildet.

Berücksichtigen wir unsere Kenntnisse über die Lorentz-Kraft, dann lässt sich das Phänomen verstehen und man gewinnt auch relevante quantitative Aussagen über die gemessene Hall-Spannung.

Hall-Effekt im Detail

Das homogene Magnetfeld $\vec{B}$ wirkt auf die sich im Leiter bewegenden Elektronen. Bekanntlich lautet die Formel für die Lorentzkraft $\vec{F}$ auf solch ein Elektron $\vec{F}=e\vec{v}\times\vec{B}$, wodurch jedes Elektron senkrecht zu $\vec{v}$ (seiner Bewegungsrichtung) und $\vec{B}$ abgelenkt wird.

Dadurch häufen sich die Elektronen auf der einen Seitenfläche des Leiters an, wodurch auf der gegenüberliegenden Seitenfläche ein Elektronenmangel entsteht bzw. die Seite positiv geladen wird. Diese Ladungsauftrennung führt zu einem elektrischen Feld $\vec{E}$, das senkrecht zu $\vec{v}$ und $\vec{B}$ verläuft.

Nach einer Zeit erreicht das elektrische Feld einen Wert $\vec{E}_{H}$, so dass die daraus resultierende elektrische Kraft $e\vec{E}_{H}$ genau die Lorentzkraft kompensiert. Die Bedingung dafür ist, dass die Summe der am Elektron angreifenden Kräfte gleich Null ist. In diesem Fall ist dies äquivalent zu

$e\vec{E}_{H}+e\vec{v}\times \vec{B}=0$

$\Rightarrow -e\vec{E}_{H}=e\vec{v}\times\vec{B}$.

An dieser Stelle kann man zur Vereinfachung auch mit Beträgen rechnen. Wie eingangs erwähnt ist der Betrag der Lorentz-Kraft durch $e\cdot v\cdot B\cdot \sin{\alpha}$ gegeben. Da der Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{v}$ und $\vec{B}$ in diesem Fall 90 Grad beträgt, reduziert sich die Formel auf $e\cdot v\cdot B$. Man erhält betraglich

$eE_{H}=evB\quad \Rightarrow E_{H}=vB$.

Hall-Spannung

Setzen wir einen plattenförmigen Leiter (Breite $b$, Dicke $d$, Länge $l$) voraus. Die Ladungsauftrennung längs der Breite $b$ führt zu einer Spannung $U_{H}$, die wir als Hall-Spannung bezeichnen. Zwischen $E_{H}$, $U_{H}$ und der Breite $b$ gilt die Beziehung (siehe Abschnitt homogenes elektrisches Feld)

$E_{H}b=U_{H}$,

woraus man durch Einsetzen in die obige Gleichung unmittelbar

$U_{H}=bvB$

erhält.

Wir versuchen nun die Hall-Spannung $U_{H}$ durch die Stromstärke $I$ auszudrücken. Sei dazu $Q$ die in der Zeiteinheit $T$ geflossene Ladungsmenge längs der Länge $l$. Dann schreibt man für die Stromstärke (mit Hilfe der Formeln im Abschnitt Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter)

$I=\frac{Q}{T}=\frac{n\cdot A\cdot l\cdot e\cdot v}{l}=n\cdot A\cdot e\cdot v$,

dabei ist $A$ die Querschnittsfläche (in unserem Fall $A=db$) und $n$ die bereits zuvor eingeführte Teilchenzahldichte. Löst man nun die Gleichung für die Stromstärke nach $bv$ auf und setzt dies in die Formel für die Hall-Spannung ein, so folgt

Der Faktor $\frac{1}{ne}$ ist die Hall-Konstante des Leitermaterials.

Zum Hall-Effekt

Im folgenden Video wird der besprochene Inhalt nochmal näher erläutert.

Die Linke und Rechte-Handregel erklären wir im folgenden Video nochmal genauer: