Anwendung: Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen
Die folgende Anwendung steht auch in enger Beziehung zum Thema Schwingungen und Wellen im zugehörigen Modul dieses Physik-Kurses.
Wellenausbreitung in zwei Inertialsystemen $S$ und $S^{'}$
Betrachten wir ganz allgemein einen ruhenden Wellenerreger, der eine Welle in einem Medium aussendet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit im entsprechenden Inertialsystem $S$, das zum Wellenerreger gehört, ist $w$.
Ein sich zum Wellenerreger mit der Geschwindigkeit $v$ relativ bewegter Empfänger (Beobachter) nimmt die Welle auch wahr. Doch wie groß ist nun die vom Beobachter in seinem Inertialsystem $S^{'}$ gemessene Ausbreitungsgeschwindigkeit $w^{'}$ der Welle?
Ruhender Wellensender- Bewegter Empfänger (Beobachter)
Der ruhende Wellensender (W) befinde sich im Inertialsystem $S$. Dem bewegten Empfänger (E) entspricht dann ein Inertialsystem $S^{'}$, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ in positiver x-Richtung bewegt (Empfänger bewegt sich vom Wellensender weg).
- $w$: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in $S$
- $w^{'}$: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in $S^{'}$
- $v$: Relativgeschwindigkeit
$w^{'}$ ist gerade die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die der Empfänger wahrnimmt.
Die Beziehung zwischen diesen Geschwindigkeiten können wir mit Hilfe des klassischen Additionstheorems für Geschwindigkeiten bestimmen
$w^{'}=w-v$.
Doppler-Effekt
Mit der Beziehung $w=\lambda\cdot f$ für Wellen (Ausbreitungsgeschwindigkeit ist Produkt aus Wellenlänge und Frequenz) folgt
$\lambda^{'}\cdot f^{'}=\lambda\cdot f-v$
Wegen der Invarianz von Längen in den beiden Bezugssystemen $S$ und $S^{'}$, sind auch die Wellenlängen gleich $\lambda^{'}=\lambda$.
Vertiefung
Die Invarianz von Längen lässt sich in der klassischen Kinematik so beweisen:
Sei $L$ eine Länge in $S$, also $L=x_2-x_1$
Im System $S^{'}$ misst man
$L^{'}=x_2^{'}-x_1^{'}=(x_2-v\cdot t)-(x_1-v\cdot t)=x_2-x_1$
Also gilt Invarianz $L=L^{'}$
Wir gelangen zum folgenden interessanten Ergebnis
$\lambda\cdot f^{'}=\lambda\cdot f-v$
$\Rightarrow f^{'}=f-\frac{v}{\lambda}=f(1-\frac{v}{\lambda\cdot f})$
Merke
Die Formel für die Frequenzänderung im Fall Ruhender Wellensender- Bewegter Empfänger ist
$f^{'}=f(1-\frac{v}{w})$.
Bewegt sich der Empfänger auf den ruhenden Wellensender zu, so ist einfach die Ersetzung $v\rightarrow -v$ in der Formel auszuführen.
Das dazugehörige Phänomen bezeichnet man als Doppler-Effekt.
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