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Lorentz-Transformationen

Mit Hilfe der gewonnenen Erkenntnis über die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit können wir nun versuchen, das relativistische Analogon zu den sogenannten Galilei-Transformationen der klassischen Physik zu finden.

Es bewege sich dazu das System $S^{'}$ mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ in positive $x$-Richtung relativ zum System $S$. Für die anderen beiden Koordinaten gelte zur Vereinfachung der Herleitung

$y^{'}=y, \quad z^{'}=z$.

Es soll nun die Transformationsformel für $x^{'}$ im Inertialsystem $S^{'}$ gefunden werden. Zu beachten sind dabei gewisse Bedingungen, welche die möglichen mathematischen Formen für eine solche Transformation einschränken. Folgende Bedingungen könnten wir formulieren:

  • Linearität der Transformation (d.h., dass $x^{'}$ als Linearkombination von den Variablen $x$ und $t$ darstellbar ist)
  • Gültigkeit der Galiliei-Transformationen nur bei kleinen Geschwindigkeiten $v$ im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit $c$ ($v\ll c$)

Wir machen daher den folgenden Ansatz, der bis auf einen Faktor $\gamma$ einer Galiliei-Transformation ähnelt

$x^{'}=\gamma(x-vt)$,

$x$ und $t$ bezeichnen hier natürlich Ort und Zeit im System $S$. Entsprechend sind $x^{'}$ und $t^{'}$ Orts- und Zeitkoordinaten im System $S^{'}$.

Wegen des Relativitätsprinzips sind beide Inertialsysteme gleichberechtigt und man kann die obige Transformationsformel für das System $S$ auf äquivalente Weise formulieren, wobei man das Vorzeichen von $v$ umkehren muss. Man erhält

$x=\gamma(x^{'}+vt^{'})$.

Wir setzen nun die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und erhalten

$x=\gamma(x^{'}+vt^{'})=\gamma[\gamma(x-vt)+vt^{'}]=\gamma^2(x-vt)+\gamma vt^{'}$

$\Rightarrow (1-\gamma^2)x+\gamma^2vt=\gamma vt^{'}$,

woraus durch Division beider Seiten durch $\gamma v$

$\Rightarrow \frac{1-\gamma^2}{\gamma}\frac{x}{v}+\gamma t=t^{'}$

folgt. Damit erhalten wir auch die Transformationsformel für die Zeitkoordinate $t^{'}$ im System $S^{'}$.

Gehen wir nun dazu über, den Faktor $\gamma$ explizit zu bestimmen.

Bestimmung des relativistischen Faktors $\gamma$

Methode

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Aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in den beiden Systemen $S$ und $S^{'}$ folgt für die Bewegung des Lichts

$ct=x, \quad ct^{'}=x^{'}$.

Dies führt zur Gleichung bzw. Äquivalenz

$\frac{x}{t}=\frac{x^{'}}{t^{'}} \Leftrightarrow \frac{x^{'}}{x}=\frac{t^{'}}{t}$

für das Licht. Setzen wir nun die obige Formel für $x^{'}$ ein, so resultiert

$\frac{x^{'}}{x}=\frac{\gamma(x-vt)}{x}=\gamma(1-\frac{v}{c})$

$\Rightarrow \frac{t^{'}}{t}=\gamma(1-\frac{v}{c})$.

Wir nehmen nun die obige Transformationsformel für die Zeitkoordinate $t^{'}$ und dividieren auf beiden Seiten durch $t$.

$\frac{1-\gamma^2}{\gamma}\frac{x}{vt}+\gamma=\frac{t^{'}}{t}$

Da man sich auf die Fortpflanzung von Licht konzentriert, gilt entsprechend den vorigen Überlegungen

$\frac{1-\gamma^2}{\gamma}\frac{c}{v}+\gamma=\gamma(1-\frac{v}{c})$,

woraus man durch algebraische Umformungen weiter folgendes bekommt

$\Rightarrow \frac{1-\gamma^2}{\gamma}\frac{c}{v}=-\gamma\frac{v}{c}$

$\Rightarrow \gamma^2-1=\gamma^2\frac{v^2}{c^2}$

$\Rightarrow \gamma^2(1-(\frac{v}{c})^2)=1$.

Man zieht nun die Quadratwurzel und nimmt die positive Wurzel.

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

Offensichtlich ist der Faktor $\gamma$ von der Relativgeschwindigkeit $v$ abhängig. Für hinreichend kleine Geschwindigkeiten ($v\ll c$) ist $\gamma$ ungefähr gleich Eins und die Transformationsformeln gehen in die Galileische Form über.

Macht man sich nun die Mühe und setzt die abgleitete Formel für den Faktor $\gamma$ in die weiter oben angegebene Transformationsformel für die Zeit $t^{'}$ im System $S^{'}$ ein, so gewinnt man nach einigen algebraischen Umformungen (die Du als Übung durchführen kannst) den Ausdruck

$t^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}(t-\frac{v}{c^2}x)$.

Wir formulieren nun den Merksatz über die neuen relativistischen Transformationen.

Lorentz-Transformationen

Merke

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Bewegt sich das Inertialsystem $S^{'}$ mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ in positive $x$-Richtung relativ zum Inertialsystem $S$ mit der Voraussetzung, dass die anderen beiden Koordinatenachsen übereinstimmen

$y^{'}=y,\quad z^{'}=z$,

so lauten die Transformationsformeln für Ort-und Zeitkoordinaten beim Übergang $S\to S^{'}$:

$x^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}(x-vt)$

$t^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}(t-\frac{v}{c^2}x)$

Wegen des Relativitätsprinzips lassen sich auch die Formeln für den umgekehrten Übergang leicht bestimmen, wobei man das Vorzeichen von $v$ umkehren muss. Für den Übergang $S^{'}\to S$ gilt:

$x=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}(x^{'}+vt^{'})$

$t=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}(t^{'}+\frac{v}{c^2}x^{'})$

Man bezeichnet diese neuen relativistischen Transformationen als Lorentz-Transformationen.

Diese sogenannten Raum-Zeit-Transformationen geben Anlass von einer Raum-Zeit zu sprechen. Die hier und im Abschnitt zur Zeitdilatation vermittelten Aspekte zeigen sich nicht nur auf der Erde, sondern insbesondere in Phänomenen, die sich im Universum abspielen.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Relativitätstheorie

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik
    • Einleitung zu Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik
    • Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
      • Einleitung zu Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
      • Anwendung: Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen
    • Beschleunigung, Masse, Kraft
  • Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
    • Einleitung zu Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
    • Gedankenexperiment zur Äthertheorie
    • Michelson-Experiment im Detail
      • Einleitung zu Michelson-Experiment im Detail
      • Michelson-Interferometer
        • Einleitung zu Michelson-Interferometer
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    • Einleitung zu Relativistische Kinematik
    • Lorentz-Transformationen
    • Relativistische Geschwindigkeitsaddition
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      • Einleitung zu Relativistische Messgrößen
      • Relativistischer Impuls
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        • Einleitung zu Relativistische Energie
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