Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
Mit Hilfe der Galilei-Transformationen und der Differentialrechnung sind wir in der Lage, das Additionstheorem für Geschwindigkeiten der klassischen Physik abzuleiten. Dabei vereinfachen wir unsere Überlegungen und betrachten einen Körper, der sich in $x$-Richtung bewegt.
Umrechnung der Geschwindigkeit in Inertialsystemen
Sei $w$ die Geschwindigkeit eines Körpers im System $S$, der sich in $x$-Richtung bewegt. Welche Geschwindigkeit $w^{'}$ ergibt sich dann im System $S^{'}$?
Bekanntlich ist die Geschwindigkeit als Ableitung des Weges nach der Zeit darstellbar. Also hat man zunächst
$w=\frac{dx}{dt}$
und demzufolge im System $S^{'}$, wobei man jetzt die gestrichenen Größen einsetzen muss,
$w^{'}=\frac{dx^{'}}{dt^{'}}=\frac{d}{dt}(x-vt)=\frac{dx}{dt}-v=w-v$.
Dabei hat man die Tatsache $t^{'}=t\Rightarrow dt^{'}=dt$ und die oben angegebene Galileitransformation für $x^{'}$ ausgenutzt.
Merke
Additionstheorem der klassischen Physik
Bewegt sich das System $S^{'}$ mit der Geschwindigkeit $v$ gegenüber $S$ in positiver $x$-Richtung und ist $w$ die Geschwindigkeit im System $S$ eines in $x$-Richtung laufenden Körpers, so ist seine Geschwindigkeit im System $S^{'}$ durch
$w^{'}=w-v$
gegeben.
Geschwindigkeitsaddition im Alltag
Beispiel
Ein ICE fährt im Regelbetrieb mit einer Höchstgeschwindigkeit von 280 km/h. Ein Mann bewege sich im Zug mit einer Geschwindigkeit von 2 km/h in Fahrtrichtung des Zuges.
Welche Geschwindigkeit misst nun ein aussen stehender Beobachter, der am Bahnhof steht und die Bewegung des Mannes im Zug verfolgt?
Dazu wählen wir geeignete Bezeichnungen für die Inertialsysteme Zug bzw. Beobachter:
$S$: Inertialsystem des Beobachters
$S^{'}$: Inertialsystem Zug
$w^{'}=2 \frac{km}{h}$ ist die Geschwindigkeit des Mannes im Zug bzw. $S^{'}$. Logischerweise ist dann $w$ die vom Beobachter gemessene Geschwindigkeit des Mannes in $S$. Die Relativgeschwindigkeit beider Systeme ist die Geschwindigkeit des Zuges und damit $v=280 \frac{km}{h}$. Nach dem Additionstheorem hat man
$w^{'}=w-v$ und damit $w=w^{'}+v=282 \frac{km}{h}$.
Für den aussen stehenden Beobachter summieren sich also die Geschwindigkeiten und er misst, dass sich der Mann mit $w=282 \frac{km}{h}$ bezüglich seines Systems $S$ bewegt.
Es ist festzustellen, dass es sich beim klassischen Additionstheorem von Geschwindigkeiten um schlichte Geschwindigkeitsaddition handelt.
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