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Das Eintreten eines Ereignisses B kann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses A beeinflussen (siehe vorherige Abschnitte). Es stellt sich jetzt die Frage, ob es auch Ereignisse gibt, die sich nicht beeinflussen oder anders ausgedrückt unabhängig sind. Sicher kann man sagen, dass A von B unabhängig ist, wenn sich die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ nicht ändert, egal ob B eintritt oder nicht. Was zur folgenden Definition führt.

Merke

Definition Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$ mit $P(B)>0$ heißen genau dann (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:

$\large \bf P_B(A) = P(A)$

Folgerung 1

Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig 

$\large \Rightarrow P_B(A) = P(A)$ und $ \large P_A(B) = P(B)$

Beweis: A,B unabhängig dann gilt $ P_B(A) = P(A)$

$ \large P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \stackrel{M.S.}{=}\frac{P_B(A) \cdot P(B)}{P(A)}=\frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)}= P(B)$

D.h ist A von B unabhängig dann ist auch B von A unabhängig.

Folgerung 2

Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig

$\large \Rightarrow P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

Beweis:

$\large P(A \cap B ) \stackrel{M.S.}{=} P_B(A) \cdot P(B)  \stackrel{unab.}{=}P(A) \cdot P(B)$

Merke

Spezieller Multiplikationssatz

Zwei Ereignisse A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ sind genau dann unabhängig, wenn gilt:

$\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

Beweis (Spezieller Multiplikationssatz)

Wegen Folgerung 2 ist nur noch die Rückrichtung " $\Leftarrow$" des Satzes zu zeigen.

Es gelte $\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

$ \large P_B(A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \Rightarrow $ A,B sind unabhängig.

Multiple-Choice
Seien $P(A) = 0,56 \; , \; P(A \cap B) = 0,32 $ und A und B unabhängig.  Welche Aussagen sind dann richtig ?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 107
  • 15

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  • Miriam

    Miriam

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    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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