Unabhängigkeit

Das Eintreten eines Ereignisses B kann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses A beeinflussen (siehe vorherige Abschnitte). Es stellt sich jetzt die Frage, ob es auch Ereignisse gibt, die sich nicht beeinflussen oder anders ausgedrückt unabhängig sind. Sicher kann man sagen, dass A von B unabhängig ist, wenn sich die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ nicht ändert, egal ob B eintritt oder nicht. Was zur folgenden Definition führt.

Folgerung 1

Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig 

$\large \Rightarrow P_B(A) = P(A)$ und $ \large P_A(B) = P(B)$

Beweis: A,B unabhängig dann gilt $ P_B(A) = P(A)$

$ \large P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \stackrel{M.S.}{=}\frac{P_B(A) \cdot P(B)}{P(A)}=\frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)}= P(B)$

D.h ist A von B unabhängig dann ist auch B von A unabhängig.

Folgerung 2

Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig

$\large \Rightarrow P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

Beweis:

$\large P(A \cap B ) \stackrel{M.S.}{=} P_B(A) \cdot P(B)  \stackrel{unab.}{=}P(A) \cdot P(B)$

Beweis (Spezieller Multiplikationssatz)

Wegen Folgerung 2 ist nur noch die Rückrichtung " $\Leftarrow$" des Satzes zu zeigen.

Es gelte $\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

$ \large P_B(A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \Rightarrow $ A,B sind unabhängig.