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Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

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Unabhängigkeit

Das Eintreten eines Ereignisses B kann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses A beeinflussen (siehe vorherige Abschnitte). Es stellt sich jetzt die Frage, ob es auch Ereignisse gibt, die sich nicht beeinflussen oder anders ausgedrückt unabhängig sind. Sicher kann man sagen, dass A von B unabhängig ist, wenn sich die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ nicht ändert, egal ob B eintritt oder nicht. Was zur folgenden Definition führt.

Merke

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Definition Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$ mit $P(B)>0$ heißen genau dann (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:

$\large \bf P_B(A) = P(A)$

Folgerung 1

Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig 

$\large \Rightarrow P_B(A) = P(A)$ und $ \large P_A(B) = P(B)$

Beweis: A,B unabhängig dann gilt $ P_B(A) = P(A)$

$ \large P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \stackrel{M.S.}{=}\frac{P_B(A) \cdot P(B)}{P(A)}=\frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)}= P(B)$

D.h ist A von B unabhängig dann ist auch B von A unabhängig.

Folgerung 2

Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig

$\large \Rightarrow P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

Beweis:

$\large P(A \cap B ) \stackrel{M.S.}{=} P_B(A) \cdot P(B)  \stackrel{unab.}{=}P(A) \cdot P(B)$

Merke

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Spezieller Multiplikationssatz

Zwei Ereignisse A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ sind genau dann unabhängig, wenn gilt:

$\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

Beweis (Spezieller Multiplikationssatz)

Wegen Folgerung 2 ist nur noch die Rückrichtung " $\Leftarrow$" des Satzes zu zeigen.

Es gelte $\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$

$ \large P_B(A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \Rightarrow $ A,B sind unabhängig.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
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