Unabhängigkeit
Das Eintreten eines Ereignisses B kann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses A beeinflussen (siehe vorherige Abschnitte). Es stellt sich jetzt die Frage, ob es auch Ereignisse gibt, die sich nicht beeinflussen oder anders ausgedrückt unabhängig sind. Sicher kann man sagen, dass A von B unabhängig ist, wenn sich die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ nicht ändert, egal ob B eintritt oder nicht. Was zur folgenden Definition führt.
Merke
Definition Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$ mit $P(B)>0$ heißen genau dann (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
$\large \bf P_B(A) = P(A)$
Folgerung 1
Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig
$\large \Rightarrow P_B(A) = P(A)$ und $ \large P_A(B) = P(B)$
Beweis: A,B unabhängig dann gilt $ P_B(A) = P(A)$
$ \large P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \stackrel{M.S.}{=}\frac{P_B(A) \cdot P(B)}{P(A)}=\frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)}= P(B)$
D.h ist A von B unabhängig dann ist auch B von A unabhängig.
Folgerung 2
Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig
$\large \Rightarrow P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
Beweis:
$\large P(A \cap B ) \stackrel{M.S.}{=} P_B(A) \cdot P(B) \stackrel{unab.}{=}P(A) \cdot P(B)$
Merke
Spezieller Multiplikationssatz
Zwei Ereignisse A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ sind genau dann unabhängig, wenn gilt:
$\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
Beweis (Spezieller Multiplikationssatz)
Wegen Folgerung 2 ist nur noch die Rückrichtung " $\Leftarrow$" des Satzes zu zeigen.
Es gelte $\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
$ \large P_B(A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \Rightarrow $ A,B sind unabhängig.
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