Unabhängigkeit
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Das Eintreten eines Ereignisses B kann die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses A beeinflussen (siehe vorherige Abschnitte). Es stellt sich jetzt die Frage, ob es auch Ereignisse gibt, die sich nicht beeinflussen oder anders ausgedrückt unabhängig sind. Sicher kann man sagen, dass A von B unabhängig ist, wenn sich die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ nicht ändert, egal ob B eintritt oder nicht. Was zur folgenden Definition führt.
Merke
Definition Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$ mit $P(B)>0$ heißen genau dann (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
$\large \bf P_B(A) = P(A)$
Folgerung 1
Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig
$\large \Rightarrow P_B(A) = P(A)$ und $ \large P_A(B) = P(B)$
Beweis: A,B unabhängig dann gilt $ P_B(A) = P(A)$
$ \large P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \stackrel{M.S.}{=}\frac{P_B(A) \cdot P(B)}{P(A)}=\frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)}= P(B)$
D.h ist A von B unabhängig dann ist auch B von A unabhängig.
Folgerung 2
Sind A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ unabhängig
$\large \Rightarrow P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
Beweis:
$\large P(A \cap B ) \stackrel{M.S.}{=} P_B(A) \cdot P(B) \stackrel{unab.}{=}P(A) \cdot P(B)$
Merke
Spezieller Multiplikationssatz
Zwei Ereignisse A, B mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$ sind genau dann unabhängig, wenn gilt:
$\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
Beweis (Spezieller Multiplikationssatz)
Wegen Folgerung 2 ist nur noch die Rückrichtung " $\Leftarrow$" des Satzes zu zeigen.
Es gelte $\large P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
$ \large P_B(A) = \frac{P(A \cap B )}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \Rightarrow $ A,B sind unabhängig.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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