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Komplexe Funktionen ableiten

Die schwierigsten Funktionen sind Funktionen bei denen die Produkt- und die Kettenregel angewendet werden muss.
(Die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel muss bei fast jeder normalen Funktion angewendet werden.)

z.B. $f(x)=(2x³+5)^3\cdot3e^{-x³}$

Hier ist es gut, sich die einzelnen Funktionen aufzuschreiben, aus denen die Funktion zusammengesetzt ist, um den Überblick zu behalten.

$f(x)=u \cdot v$ mit  $u=(2x³+5)³$ und  $v=3e^{-x³}$

nach der Produktregel gilt: f´(x)=u´v+uv´

u(x) und v(x) müssen jeweils nach der Kettenregel abgeleitet werden.
Hinweis: Im Folgenden werden die Begriffe "innere/äußere Funktion" sowie "innere/äußere Ableitung" sehr umgangsprachlich benutzt. Das soll dem besseren Verständnis dienen - aber besser nicht in der Prüfung nachgemacht werden!

Ableitung von u(x)

Die Funktion $u(x)=(2x³+5)³$ wird als Verkettung geschrieben mit
der "äußeren Funktion" $u(w)=w³$ und der "inneren Funktion" $w  =2x³+5$.
Also mit der "äußeren Ableitung" $u´(w)=3w²$ und $w´=6x²$ als "innerer Ableitung".

Es gilt:
$u´(x)$ = "äußere Ableitung mal innere Ableitung"
$u´(x)=3w² \cdot 6x²$    jetzt w einsetzen
$u´(x)=3(2x³+5)² \cdot 6x²$    dann zusammenfassen und sortieren
$u´(x)=18x² \cdot (2x³+5)²$

Ableitung von v(x)

Die Funktion $v(x) =3e^{-x³}$ wird als Verkettung geschrieben mit
der "äußeren Funktion" $v(z)=3e^z$ und der "inneren Funktion" $z=-x³$.
Als Ableitungen ergeben sich $v´(z) =3e^z$  ("äußere") und $z´=-3x²$ ("innere Ableitung").

Es gilt:
$v´(x)$ = "äußere Ableitung mal innere Ableitung"
$v´(x)=3e^z \cdot(-3x^2)$    jetzt z einsetzen
$v´(x)= 3e^{-x³} \cdot (-3x^2)$    dann zusammenfassen und sortieren
$v´(x)= -9x^2 \cdot e^{-x^3}$

Ableitung von f(x) nach der Produktregel

Das sind unsere benötigten "Bauteile":

$u(x)=(2x³+5)³$
$u´(x)=18x² \cdot (2x³+5)²$

$v(x) =3e^{-x³}$
$v´(x)=-9x² \cdot e^{-x³}$

(1): f´(x)=[u´v]+[uv´]    hier setzen wir diese Bauteile jetzt ein:

(2): f´(x)=$[18x^2 \cdot (2x^3+5)^2 \cdot 3e^{-x^3}] + [(2x^3+5)^3 \cdot (-9x^2 \cdot e^{-x^3})]$

Dann wird ausmultipliziert:
(3): f´(x)=$[54x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^2] + [-9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^3]$

Jetzt $(9x^2 \cdot e^{-x^3})$ ausgeklammert:
(4): f´(x)=$9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot [6(2x^3+5)^2-(2x^3+5)^3]$

Dann noch $(2x^3+5)^2$ ausklammern:
(5): f´(x)=$9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^2 \cdot (6-(2x^3+5))$

Und schließlich die letzte Klammer auflösen:
(6): f´(x)=$9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^2 \cdot (1-2x^3)$

Ist zwar immer noch nicht wirklich "schön", aber zumindest mal etwas kompakter als in Zeile (2)!

Multiple-Choice
Wie ist die Ableitung von f(x)=$(x-3)^2\cdot-4e^{2x^4}$?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Komplexe Funktionen ableiten

  • Andreas Erb schrieb am 08.12.2014 um 21:44 Uhr
    Hallo Veronika. Ich habe einmal das "Ausmultiplizieren von f´(x)" um eine Zeile erweitert, also ein bisschen ausführlicher gemacht. Zusätzlich sind die Zeilen jetzt durchnummeriert und die einzelnen Schritte beschrieben. Ich hoffe du kannst es jetzt nachvollziehen. Ansonsten kannst du gerne noch einmal schreiben, dann mit genauer Zeilenangabe, wo du hängen geblieben bist. Liebe Grüße Andreas Erb
  • veronika horn schrieb am 08.12.2014 um 16:55 Uhr
    Hallo, bei dem ausmultiplizieren von f´(x) komme ich nicht weiter. Welche zwischen Schritte wurden berechnet. Liebe Grüße Veronika
  • Andreas Erb schrieb am 20.11.2014 um 09:41 Uhr
    Liebe Johanna Das stimmt, da muss natürlich "18" hin mit den entsprechend anderen Werten in der Folge. Ich habe das berichtigt. Liebe Grüße Andreas Erb
  • Johanna Schulze schrieb am 20.11.2014 um 00:34 Uhr
    Hallo, müsste es bei der Ableitung von u(x) nach dem Zwischenschritt: u´(x)=3(2x³+5)²⋅6x² zusammenfassen und sortieren, nicht heißen: 18x^2 statt 12? Denn 6x^2 zusammengefasst mit 3* ist doch 18x^2, oder irre ich mich da? Liebe Grüße Johanna
Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Komplexe Funktionen ableiten ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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