Komplexe Funktionen ableiten
Die schwierigsten Funktionen sind Funktionen bei denen die Produkt- und die Kettenregel angewendet werden muss.
(Die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel muss bei fast jeder normalen Funktion angewendet werden.)
z.B. $f(x)=(2x³+5)^3\cdot3e^{-x³}$
Hier ist es gut, sich die einzelnen Funktionen aufzuschreiben, aus denen die Funktion zusammengesetzt ist, um den Überblick zu behalten.
$f(x)=u \cdot v$ mit $u=(2x³+5)³$ und $v=3e^{-x³}$
nach der Produktregel gilt: f´(x)=u´v+uv´
u(x) und v(x) müssen jeweils nach der Kettenregel abgeleitet werden.
Hinweis: Im Folgenden werden die Begriffe "innere/äußere Funktion" sowie "innere/äußere Ableitung" sehr umgangsprachlich benutzt. Das soll dem besseren Verständnis dienen - aber besser nicht in der Prüfung nachgemacht werden!
Ableitung von u(x)
Die Funktion $u(x)=(2x³+5)³$ wird als Verkettung geschrieben mit
der "äußeren Funktion" $u(w)=w³$ und der "inneren Funktion" $w =2x³+5$.
Also mit der "äußeren Ableitung" $u´(w)=3w²$ und $w´=6x²$ als "innerer Ableitung".
Es gilt:
$u´(x)$ = "äußere Ableitung mal innere Ableitung"
$u´(x)=3w² \cdot 6x²$ jetzt w einsetzen
$u´(x)=3(2x³+5)² \cdot 6x²$ dann zusammenfassen und sortieren
$u´(x)=18x² \cdot (2x³+5)²$
Ableitung von v(x)
Die Funktion $v(x) =3e^{-x³}$ wird als Verkettung geschrieben mit
der "äußeren Funktion" $v(z)=3e^z$ und der "inneren Funktion" $z=-x³$.
Als Ableitungen ergeben sich $v´(z) =3e^z$ ("äußere") und $z´=-3x²$ ("innere Ableitung").
Es gilt:
$v´(x)$ = "äußere Ableitung mal innere Ableitung"
$v´(x)=3e^z \cdot(-3x^2)$ jetzt z einsetzen
$v´(x)= 3e^{-x³} \cdot (-3x^2)$ dann zusammenfassen und sortieren
$v´(x)= -9x^2 \cdot e^{-x^3}$
Ableitung von f(x) nach der Produktregel
Das sind unsere benötigten "Bauteile":
$u(x)=(2x³+5)³$
$u´(x)=18x² \cdot (2x³+5)²$
$v(x) =3e^{-x³}$
$v´(x)=-9x² \cdot e^{-x³}$
(1): f´(x)=[u´v]+[uv´] hier setzen wir diese Bauteile jetzt ein:
(2): f´(x)=$[18x^2 \cdot (2x^3+5)^2 \cdot 3e^{-x^3}] + [(2x^3+5)^3 \cdot (-9x^2 \cdot e^{-x^3})]$
Dann wird ausmultipliziert:
(3): f´(x)=$[54x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^2] + [-9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^3]$
Jetzt $(9x^2 \cdot e^{-x^3})$ ausgeklammert:
(4): f´(x)=$9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot [6(2x^3+5)^2-(2x^3+5)^3]$
Dann noch $(2x^3+5)^2$ ausklammern:
(5): f´(x)=$9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^2 \cdot (6-(2x^3+5))$
Und schließlich die letzte Klammer auflösen:
(6): f´(x)=$9x^2 \cdot e^{-x^3} \cdot (2x^3+5)^2 \cdot (1-2x^3)$
Ist zwar immer noch nicht wirklich "schön", aber zumindest mal etwas kompakter als in Zeile (2)!
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