Potenzregel der Integration
Integrationsregeln
Die Potenzregel der Intergration ist die Umkehrung der Potenzregel der Ableitung. Die Potenzregel kannst du nur bei rationalen Funktionen f(x)=$x^n$ (n kann eine ganze Zahl oder auch ein Bruch sein) anwenden.
Hier die Potenzregel der Ableitung: $f(x)=x^n$ -> $f´(x)=n\cdot x^{n-1}$
Merke
Potenzregel der Integration: $f(x)=x^n$ -> $\int{}{}f(x)dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}$+C
Beispiel
einfaches Beispiel
$\int{}{}x³dx=\frac{1}{3+1}\cdot x^{3+1}+C=\frac{1}{4}\cdot x^{4}$+C
Beispiel
Beispiel mit Summenregel
$\int{}{}(x²+x)dx=\int{}{}x²dx+\int{}{}x^1dx $
$\ =\frac{1}{2+1}\cdot x^{2+1}+\frac{1}{1+1}\cdot x^{1+1}+C $
$\ =\frac{1}{3}\cdot x^{3}+\frac{1}{2}\cdot x^{2} +C $
Beispiel
Beispiel mit Faktorregel
$\int{}{}\frac{5}{x^4} dx $
$\ =\int{}{}5\cdot x^{-4} dx $
$\ =5\cdot \int{}{}x^{-4} dx$
$\ =5\cdot \frac{1}{-4+1}\cdot x^{-4+1}+C $
$\ =5\cdot \frac{1}{-3}\cdot x^{-3}+C $
$\ = - \frac{5}{3}\cdot x^{-3}+C $
$\ = - \frac{5}{3x^3}+C $
Beispiel
besonderes Integral von f(x)=$\frac{1}{x}$
$\int{}{} \frac{-3}{x} dx=-3\cdot \int{}{}x^{-1} dx=-3\cdot \frac{1}{-1+1}\cdot x^{-1+1}+C=-3\cdot \frac{1}{0}\cdot x^{0}+C$
Division durch 0 ist aber nicht erlaubt, daher geht die Integration da nicht. Richtig ist:
$\int{}{} \frac{-3}{x} dx=-3\cdot \int{}{}x^{-1} dx=-3\cdot lnx+C$
Merke
$\int{}{}\frac{1}{x}dx=lnx+C$
$\int{}{}x^4dx$
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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