Potenzregel der Integration
Die Potenzregel der Intergration ist die Umkehrung der Potenzregel der Ableitung. Die Potenzregel kannst du nur bei rationalen Funktionen f(x)=$x^n$ (n kann eine ganze Zahl oder auch ein Bruch sein) anwenden.
Hier die Potenzregel der Ableitung: $f(x)=x^n$ -> $f´(x)=n\cdot x^{n-1}$
Merke
Potenzregel der Integration: $f(x)=x^n$ -> $\int{}{}f(x)dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}$+C
Beispiel
einfaches Beispiel
$\int{}{}x³dx=\frac{1}{3+1}\cdot x^{3+1}+C=\frac{1}{4}\cdot x^{4}$+C
Beispiel
Beispiel mit Summenregel
$\int{}{}(x²+x)dx=\int{}{}x²dx+\int{}{}x^1dx $
$\ =\frac{1}{2+1}\cdot x^{2+1}+\frac{1}{1+1}\cdot x^{1+1}+C $
$\ =\frac{1}{3}\cdot x^{3}+\frac{1}{2}\cdot x^{2} +C $
Beispiel
Beispiel mit Faktorregel
$\int{}{}\frac{5}{x^4} dx $
$\ =\int{}{}5\cdot x^{-4} dx $
$\ =5\cdot \int{}{}x^{-4} dx$
$\ =5\cdot \frac{1}{-4+1}\cdot x^{-4+1}+C $
$\ =5\cdot \frac{1}{-3}\cdot x^{-3}+C $
$\ = - \frac{5}{3}\cdot x^{-3}+C $
$\ = - \frac{5}{3x^3}+C $
Beispiel
besonderes Integral von f(x)=$\frac{1}{x}$
$\int{}{} \frac{-3}{x} dx=-3\cdot \int{}{}x^{-1} dx=-3\cdot \frac{1}{-1+1}\cdot x^{-1+1}+C=-3\cdot \frac{1}{0}\cdot x^{0}+C$
Division durch 0 ist aber nicht erlaubt, daher geht die Integration da nicht. Richtig ist:
$\int{}{} \frac{-3}{x} dx=-3\cdot \int{}{}x^{-1} dx=-3\cdot lnx+C$
Merke
$\int{}{}\frac{1}{x}dx=lnx+C$
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