Anzahl von Wendepunkten bestimmen
Die Anzahl an Wendepunkten einer Funktion zu bestimmen ist eine Aufgabenstellung, die im Mathe-Abitur immer wieder gestellt wird. Nähern wir uns der Berechnung anhand einer echten Abituraufgabe aus den Vorjahren.
Beispiel
Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Es kann keine Funktion 4. Grades mit drei Wendepunkten geben. Wendepunkte werden über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet.
- Eine Funktion 4. Grades hat die Form: $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.
- Die erste Ableitung lautet: $f´(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$
- Die zweite Ableitung lautet: $f´´(x)=12ax^2+6bx+2c$
Das heißt die zweite Ableitung ist eine Funktion 2. Grades. Eine Funktion 2. Grades kann aber maximal nur 2 Nullstellen besitzen, so dass die Funktion 4. Grades maximal nur 2 Wendepunkte besitzen kann.
Merke
Allgemein gilt folgendes:
- Die maximale Anzahl der Nullstellen einer Funktion
= Grad der Funktion
z.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Nullstellen =2 - Die maximale Anzahl der Extremstellen einer Funktion
= Grad der Funktion -1
z.B ax³+bx²+cx+d, Grad =3 -> Anzahl der maximalen Extremstellen =3-1=2 - Die maximale Anzahl der Wendestellen einer Funktion
= Grad der Funktion -2
z.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Wendestellen =2-2=0
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