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Anzahl von Wendepunkten bestimmen

Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur

Die Anzahl an Wendepunkten einer Funktion zu bestimmen ist eine Aufgabenstellung, die im Mathe-Abitur immer wieder gestellt wird. Nähern wir uns der Berechnung anhand einer echten Abituraufgabe aus den Vorjahren.

Beispiel

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Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph drei Wendepunkte besitzt?

Begründen Sie Ihre Antwort.

Es kann keine Funktion 4. Grades mit drei Wendepunkten geben. Wendepunkte werden über die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet.

  • Eine Funktion 4. Grades hat die Form: $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$.
  • Die erste Ableitung lautet: $f´(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$
  • Die zweite Ableitung lautet: $f´´(x)=12ax^2+6bx+2c$

Das heißt die zweite Ableitung ist eine Funktion 2. Grades. Eine Funktion 2. Grades kann aber maximal nur 2 Nullstellen besitzen, so dass die Funktion 4. Grades maximal nur 2 Wendepunkte besitzen kann.

Merke

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Allgemein gilt folgendes:

  • Die maximale Anzahl der Nullstellen einer Funktion
    = Grad der Funktion
    z.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Nullstellen =2
  • Die maximale Anzahl der Extremstellen einer Funktion
    = Grad der Funktion -1
    z.B ax³+bx²+cx+d, Grad =3 -> Anzahl der maximalen Extremstellen =3-1=2
  • Die maximale Anzahl der Wendestellen einer Funktion
    = Grad der Funktion -2
    z.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Wendestellen =2-2=0
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
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