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gebrochenrationale Funktionen

Merke

Sind $p$ und $q$ ganzrationale Funktionen, so ist $f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}$ eine gebrochenrationale Funktion.

Im Wesentlichen kann der gesamte technische Apparat verwendet werden, der zur Analyse von ganzrationalen Funktionen genutzt wird, so z.B. das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden.

Besonderheiten bei gebrochenrationalen Funktionen

Da hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass nicht durch Null dividiert werden darf. Daraus ergibt sich die Besonderheit der gebrochenrationalen Funktionen. Gibt es eine Zahl, die den Nenner zu Null werden lässt, so heißt diese Zahl z.B. x=3 Definitionslücke bzw. Polstelle bzw. senkrechte Asymptote. Neben diesen senkrechten Asymptoten gibt es auch noch waagerechte, schiefe oder gekrümmte Asymptoten.

Die verschiedenen Arten werden nacheinander vorgestellt.

Methode

Bei der Berechnung der Nullstellen müssen nur die Nullstellen des Zählers berechnet werden. Das trifft auf alle Nullstellenberechnungen zu, also auch auf die Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung für die Berechnung der Extrempunkte und der Wendepunkte.

Beispiel

$f(x)= \frac{x^2-1}{x+2}$

Für die Nullstellenberechnung nur $0=x^2-1$ ausrechnen.

$x_1=1$ und $x_2=-1$

Methode

Bei Eingabe einer gebrochenrationalen Funktion in den Taschenrechner muss auf die Eingabe der Klammern geachtet werden.

Nicht y=x+1/x-2 sondern y=(x+1)/(x-2)

Multiple-Choice
Wie werden die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion berechnet?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument gebrochenrationale Funktionen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
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        • Einleitung zu Trassierung
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      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
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      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
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  • 42
  • 13
  • 56
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  • Miriam

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    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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