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Integration durch Substitution

Die Substitutionsregel entsteht, ebenso wie die partielle Integration, durch die Umkehrung einer Differentiationsregel, der Kettenregel. Seien $\phi: \left[ a; b \right] \rightarrow I, F: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar und $f:=F^\prime$, dann lautet die Kettenregel: $(F(\phi(t)))^\prime = F^\prime(\phi(t)) \phi^\prime(t) = f(\phi(t)) \phi^\prime(t)$. Integriert man diese Gleichung, ergibt sich die Substitutionsregel: $\int_a^b f(\phi(t)) \phi^\prime(t) \mathrm{d}t = F(\phi(b))-F(\phi(a)) = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) \mathrm{d}x$.

Vorgehen bei der Integration durch Substitution

In dieser Form ist es allerdings beschwerlich die Substitutionsregel anzuwenden. Zur Vereinfachung sollte man sich folgendes Vorgehen einprägen:

Methode

Gegeben ist ein Integral der Form $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x$.

  1. Wähle den inneren Term als "Substitutionsziel" und setze $t=g(x)$.
  2. Es gilt $t^\prime = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \Rightarrow \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{t^\prime}$. (Dies muss nicht immer wieder notiert werden, es kann aber von Vorteil sein, da es zur Erklärung des Rechenweges beiträgt.)
  3. Setze das Ergebnis des zweiten Schrittes ins Integral ein: $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x = \int{}{} \frac{f(t)}{t^\prime} \mathrm{d}t$.
  4. Ist das Integral in der Aufgabenstellung bestimmt, müssen noch die Integralgrenzen angepasst werden. Dies geschieht jedoch durch anwenden von g und sollte niemanden vor ernsthafte Schwierigkeiten stellen.
Multiple-Choice
Lösen Sie das unbestimmte Integral $\int \cos \left( x \right) \left( \sin \left( x \right) \right)^8 \mathrm{d}x$.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

$z:=\sin \left( x \right)$

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Integration durch Substitution ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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