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Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

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Integration durch Substitution

Die Substitutionsregel entsteht, ebenso wie die partielle Integration, durch die Umkehrung einer Differentiationsregel, der Kettenregel. Seien $\phi: \left[ a; b \right] \rightarrow I, F: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar und $f:=F^\prime$, dann lautet die Kettenregel: $(F(\phi(t)))^\prime = F^\prime(\phi(t)) \phi^\prime(t) = f(\phi(t)) \phi^\prime(t)$. Integriert man diese Gleichung, ergibt sich die Substitutionsregel: $\int_a^b f(\phi(t)) \phi^\prime(t) \mathrm{d}t = F(\phi(b))-F(\phi(a)) = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) \mathrm{d}x$.

Vorgehen bei der Integration durch Substitution

In dieser Form ist es allerdings beschwerlich die Substitutionsregel anzuwenden. Zur Vereinfachung sollte man sich folgendes Vorgehen einprägen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben ist ein Integral der Form $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x$.

  1. Wähle den inneren Term als "Substitutionsziel" und setze $t=g(x)$.
  2. Es gilt $t^\prime = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \Rightarrow \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{t^\prime}$. (Dies muss nicht immer wieder notiert werden, es kann aber von Vorteil sein, da es zur Erklärung des Rechenweges beiträgt.)
  3. Setze das Ergebnis des zweiten Schrittes ins Integral ein: $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x = \int{}{} \frac{f(t)}{t^\prime} \mathrm{d}t$.
  4. Ist das Integral in der Aufgabenstellung bestimmt, müssen noch die Integralgrenzen angepasst werden. Dies geschieht jedoch durch anwenden von g und sollte niemanden vor ernsthafte Schwierigkeiten stellen.
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 43
  • 13
  • 56
  • 28