Integration durch Substitution
Die Substitutionsregel entsteht, ebenso wie die partielle Integration, durch die Umkehrung einer Differentiationsregel, der Kettenregel. Seien $\phi: \left[ a; b \right] \rightarrow I, F: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar und $f:=F^\prime$, dann lautet die Kettenregel: $(F(\phi(t)))^\prime = F^\prime(\phi(t)) \phi^\prime(t) = f(\phi(t)) \phi^\prime(t)$. Integriert man diese Gleichung, ergibt sich die Substitutionsregel: $\int_a^b f(\phi(t)) \phi^\prime(t) \mathrm{d}t = F(\phi(b))-F(\phi(a)) = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) \mathrm{d}x$.
Vorgehen bei der Integration durch Substitution
In dieser Form ist es allerdings beschwerlich die Substitutionsregel anzuwenden. Zur Vereinfachung sollte man sich folgendes Vorgehen einprägen:
Methode
Gegeben ist ein Integral der Form $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x$.
- Wähle den inneren Term als "Substitutionsziel" und setze $t=g(x)$.
- Es gilt $t^\prime = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \Rightarrow \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{t^\prime}$. (Dies muss nicht immer wieder notiert werden, es kann aber von Vorteil sein, da es zur Erklärung des Rechenweges beiträgt.)
- Setze das Ergebnis des zweiten Schrittes ins Integral ein: $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x = \int{}{} \frac{f(t)}{t^\prime} \mathrm{d}t$.
- Ist das Integral in der Aufgabenstellung bestimmt, müssen noch die Integralgrenzen angepasst werden. Dies geschieht jedoch durch anwenden von g und sollte niemanden vor ernsthafte Schwierigkeiten stellen.
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