partielle Integration
Bei der Integration komplexerer Funktionen muss oft eine bisher nicht eingeführte Integrationsregel angewandt werden. Sie stellt das Gegenstück zu der aus der Differentialrechnung bekannten Produktregel dar.
Seien u und v zwei stetig differenzierbare Funktionen. Die Produktregel besagt nun, dass $(u v)^\prime = u^\prime v + u v^\prime$ gilt, woraus man durch umstellen $u^\prime v = (u v)^\prime - u v^\prime$ erhält. Auf die letzte Gleichung kann nun der Integraloperator angewendet werden und es ergibt sich $\int{}{}u^\prime v = \int{}{}(u v)^\prime - \int{}{}u v^\prime = uv - \int{}{}u v^\prime $ unter Verwendung der Linearität (Summenformel).
Merke
Die Integrationsregel $\int{}{}u^\prime v = uv - \int{}{}u v^\prime $ wird partielle Integration genannt.
Dieser Sachverhalt ist oft dann nützlich, wenn man die Stammfunktion von u und sich das letzte Integral lösen lässt. In anderen Fällen ermöglicht es die partielle Integration durch besondere Kniffe Integralausdrücke zu lösen, die vorher unlösbar waren.
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