partielle Integration
Bei der Integration komplexerer Funktionen muss oft eine bisher nicht eingeführte Integrationsregel angewandt werden. Sie stellt das Gegenstück zu der aus der Differentialrechnung bekannten Produktregel dar.
Seien u und v zwei stetig differenzierbare Funktionen. Die Produktregel besagt nun, dass $(u v)^\prime = u^\prime v + u v^\prime$ gilt, woraus man durch umstellen $u^\prime v = (u v)^\prime - u v^\prime$ erhält. Auf die letzte Gleichung kann nun der Integraloperator angewendet werden und es ergibt sich $\int{}{}u^\prime v = \int{}{}(u v)^\prime - \int{}{}u v^\prime = uv - \int{}{}u v^\prime $ unter Verwendung der Linearität (Summenformel).
Merke
Die Integrationsregel $\int{}{}u^\prime v = uv - \int{}{}u v^\prime $ wird partielle Integration genannt.
Dieser Sachverhalt ist oft dann nützlich, wenn man die Stammfunktion von u und sich das letzte Integral lösen lässt. In anderen Fällen ermöglicht es die partielle Integration durch besondere Kniffe Integralausdrücke zu lösen, die vorher unlösbar waren.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
Dieses Dokument partielle Integration ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).
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