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Bei der Integration komplexerer Funktionen muss oft eine bisher nicht eingeführte Integrationsregel angewandt werden. Sie stellt das Gegenstück zu der aus der Differentialrechnung bekannten Produktregel dar.

Seien u und v zwei stetig differenzierbare Funktionen. Die Produktregel besagt nun, dass $(u v)^\prime = u^\prime v + u v^\prime$ gilt, woraus man durch umstellen $u^\prime  v = (u v)^\prime - u v^\prime$ erhält. Auf die letzte Gleichung kann nun der Integraloperator angewendet werden und es ergibt sich $\int{}{}u^\prime v = \int{}{}(u v)^\prime - \int{}{}u v^\prime = uv - \int{}{}u v^\prime $ unter Verwendung der Linearität (Summenformel).

Merke

Die Integrationsregel $\int{}{}u^\prime v = uv - \int{}{}u v^\prime $ wird partielle Integration genannt.

Dieser Sachverhalt ist oft dann nützlich, wenn man die Stammfunktion von u und sich das letzte Integral lösen lässt. In anderen Fällen ermöglicht es die partielle Integration durch besondere Kniffe Integralausdrücke zu lösen, die vorher unlösbar waren.

Multiple-Choice
Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \sin(x) e^x \mathrm{d}x$.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument partielle Integration ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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    • Einleitung zu Funktionsklassen
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    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
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    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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