beschränktes Wachstum
Der letzte Prozess der betrachtet wird, ist das sogenannte beschränkte Wachstum.
Merke
Begrenztes Wachstum
- beim begrenzten oder beschränkten Wachstum gibt es eine Schranke S, der sich der Graph von oben (Zimmertemperatur beim Abkühlen von Kaffee) oder von unten (Platz in einer Petrischale beim Bakterienwachstum) nähern kann
- $S-u(t)$ ist das sogenannte Sättigungsmanko oder der Restbestand, welcher proportional zu $c \cdot e^{-k \cdot t}$
- $k (S-u(t))$ ist der Verbrauch.
- Verbrauch ~ Änderungsrate, d.h. $k (S-u(t))$~u´(t)
- DGL: $u^\prime(t)=k (S-u(t))$ mit Lösungsmenge $u(t) = S - c e^{-k t}$
- Folgendarstellung: $a_n = a_1 (1-k)^{n-1}-S (1-k)^{n-1} + S$
Merke
Die Gleichung für beschränktes Wachstum lautet:
$u(t)=S-\cdot c e^{k t}$,
k ist die Wachstumskonstante, c=u(0)=Anfangsbestand, S ist die Schranke
Im Abitur können neben dem exponentiellen Wachstum auch Aufgaben zum beschränkten Wachstum vorkommen. Auf den folgenden Seiten wird solch eine Abituraufgabe vorgestellt.
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