lineares Wachstum
Zunächst zum Prozess des linearen Wachstums.
Merke
lineares Wachstum
- Gibt es $c \in \mathbb{R}$ so dass für alle t $u(t+1)=u(t)+a$ gilt, liegt lineares Wachstum vor. (Änderungsrate ist konstant, Steigung konstant)
- DGL: $u^\prime(t)=k$ mit Lösungsmenge $u(t)=k t +u(0)$
- Folgendarstellung: $a_{n+1}=k+ a_n \Rightarrow a_n = a_1+ k$
Beispielaufgabe zum linearen Wachstum
Beispiel
Eine typische Aufgabe zu linearen Wachstum ist:
Ein Stalagmit in einer Höhle ist 1,2 m lang. Er wächst jährlich um durchschnittlich 3 mm.
- Wie lang ist der Stalagmit vermutlich in 10 Jahren ?
- Wie lang war er vor 20 Jahren ?
- Zeichne den Graphen !
- In wie vielen Jahren wird der Stalagmit voraussichtlich 1,5 m lang sein ?
- Wann begann der Stalagmit zu wachsen?
Lösung:
- Funktionsgleichung aufstellen, dabei die unterschiedlichen Einheiten beachten
1,2 m ist der Ausgangswert u(0), 3mm pro Jahr ist die Steigung (Änderungsrate)
$u(t)=3\frac{mm}{a}\cdot t +1200mm$
gekürzt: u(t)=3t+1200
Aufgabe: t, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.
u(10)=30+1200=1230mm=1,23m - Aufgabe: t=-20, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.
u(-20)=-60+1200=1140mm=1,14m - siehe unten
- Aufgabe: Länge=1,5m=1500mm, d.h. y-Wert, ist gegeben t, d.h. x-Wert ist gesucht.
1500=3t+1200, t=100 Jahre - Aufgabe: Berechnung der Nullstelle
0=3t+1200, t=-400 Jahre
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