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Zunächst zum Prozess des linearen Wachstums.

Merke

lineares Wachstum

  • Gibt es $c \in \mathbb{R}$ so dass für alle t $u(t+1)=u(t)+a$ gilt, liegt lineares Wachstum vor. (Änderungsrate ist konstant, Steigung konstant)
  • DGL: $u^\prime(t)=k$ mit Lösungsmenge $u(t)=k t +u(0)$
  • Folgendarstellung: $a_{n+1}=k+ a_n \Rightarrow a_n = a_1+ k$

Beispielaufgabe zum linearen Wachstum

Beispiel

Eine typische Aufgabe zu linearen Wachstum ist:

Ein Stalagmit in einer Höhle ist 1,2 m lang. Er wächst jährlich um durchschnittlich 3 mm.

  1. Wie lang ist der Stalagmit vermutlich in 10 Jahren ?
  2. Wie lang war er vor 20 Jahren ?
  3. Zeichne den Graphen !
  4. In wie vielen Jahren wird der Stalagmit voraussichtlich 1,5 m lang sein ?
  5. Wann begann der Stalagmit zu wachsen?

Lösung:

  1. Funktionsgleichung aufstellen, dabei die unterschiedlichen Einheiten beachten
    1,2 m ist der Ausgangswert u(0), 3mm pro Jahr ist die Steigung (Änderungsrate)
    $u(t)=3\frac{mm}{a}\cdot t +1200mm$
    gekürzt: u(t)=3t+1200
    Aufgabe: t, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.
    u(10)=30+1200=1230mm=1,23m
  2. Aufgabe: t=-20, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.
    u(-20)=-60+1200=1140mm=1,14m
  3. siehe unten
  4. Aufgabe: Länge=1,5m=1500mm, d.h. y-Wert, ist gegeben t, d.h. x-Wert ist gesucht.
    1500=3t+1200, t=100 Jahre
  5. Aufgabe: Berechnung der Nullstelle
    0=3t+1200, t=-400 Jahre
lineares Wachstum
lineares Wachstum eines Stalagmiten
Multiple-Choice
Bitte die richtigen Aussagen auswählen.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument lineares Wachstum ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
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        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
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        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 42
  • 13
  • 56
  • 12

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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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