abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 200 Lernvideos
  • 415 Lerntexte
  • 592 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben

Zunächst zum Prozess des linearen Wachstums.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

lineares Wachstum

  • Gibt es $c \in \mathbb{R}$ so dass für alle t $u(t+1)=u(t)+a$ gilt, liegt lineares Wachstum vor. (Änderungsrate ist konstant, Steigung konstant)
  • DGL: $u^\prime(t)=k$ mit Lösungsmenge $u(t)=k t +u(0)$
  • Folgendarstellung: $a_{n+1}=k+ a_n \Rightarrow a_n = a_1+ k$

Beispielaufgabe zum linearen Wachstum

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Eine typische Aufgabe zu linearen Wachstum ist:

Ein Stalagmit in einer Höhle ist 1,2 m lang. Er wächst jährlich um durchschnittlich 3 mm.

  1. Wie lang ist der Stalagmit vermutlich in 10 Jahren ?
  2. Wie lang war er vor 20 Jahren ?
  3. Zeichne den Graphen !
  4. In wie vielen Jahren wird der Stalagmit voraussichtlich 1,5 m lang sein ?
  5. Wann begann der Stalagmit zu wachsen?

Lösung:

  1. Funktionsgleichung aufstellen, dabei die unterschiedlichen Einheiten beachten
    1,2 m ist der Ausgangswert u(0), 3mm pro Jahr ist die Steigung (Änderungsrate)
    $u(t)=3\frac{mm}{a}\cdot t +1200mm$
    gekürzt: u(t)=3t+1200
    Aufgabe: t, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.
    u(10)=30+1200=1230mm=1,23m
  2. Aufgabe: t=-20, d.h. x-Wert, ist gegeben Länge, d.h. y-Wert ist gesucht.
    u(-20)=-60+1200=1140mm=1,14m
  3. siehe unten
  4. Aufgabe: Länge=1,5m=1500mm, d.h. y-Wert, ist gegeben t, d.h. x-Wert ist gesucht.
    1500=3t+1200, t=100 Jahre
  5. Aufgabe: Berechnung der Nullstelle
    0=3t+1200, t=-400 Jahre
lineares Wachstum
lineares Wachstum eines Stalagmiten
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 43
  • 13
  • 56
  • 28