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in Mathematik

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Aufgabe zum logistischen Wachstum

Wachstums- und Zerfallsprozesse / Logistisches Wachstum

Beispiel

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Wachstum von Fichten (LK)
Fichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:

Alter des Baumes
in Jahren
0
(Setzling)
20406080100120140160
Durchmesser in m
(bei älteren Fichten gemessen
in 1,30 m Höhe)
0,050,100,220,330,540,750,830,910,95

a) Die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten in dieser Region kann durch eine
Funktion d mit $d(t)=\frac{1}{1+e^{-0,04(t-80)}}$ näherungsweise beschrieben werden.

  • Skizzieren Sie die gemessenen Durchschnittswerte sowie den Graphen von d in ein gemeinsames Koordinatensystem.
  • Ermitteln Sie, in welchem Jahr die Funktion d das stärkste Dickenwachstum beschreibt und bestimmen Sie dieses maximale Dickenwachstum.

Lösungsskizze

Das stärkste Dickenwachstum entspricht dem Maximum der Ableitung
Das stärkste Dickenwachstum entspricht dem Maximum der Ableitung der Dicke-Zeit-Funktion

Das stärkste Dickenwachstum entspricht dem Maximum der Ableitung der Dicke-Zeit-Funktion. Mittels GTR wird grafisch das Maximum von d’(t) an der Stelle $ t \approx 80 $ zu 0,01 ermittelt, mittels CAS werden die Lösung von d’’(t) = 0
zu t = 80 und die von d’(80) zu 0,01 bestimmt.

Im Alter von ca. 80 Jahren tritt das stärkste Dickenwachstum auf; es beträgt 0,01 Meter pro Jahr.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 43
  • 2
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