Aufstellen einer Geradengleichung
Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und Richtungsvektor
Um eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt.
Methode
Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors kommen wir zu jedem beliebigen Punkt, der auf der Geraden liegt.
Der Ortsvektor $\vec{x}$ eines Punktes X auf der Geraden g kann also beschrieben werden als
$\vec{x}=\vec{p}+t \cdot \vec{v}$.
Aufstellen der Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte
Ebenso kann eine Gerade durch zwei Punkte Q und R, durch die sie gehen soll, festgelegt werden. In diesem Falle wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt und bestimmen als Richtungsvektor den Vektor zwischen diesen beiden Punkten. Es gilt dann
$\vec{x}=\overrightarrow{OQ} + t \cdot \overrightarrow{QR}$.
Beispiel
- Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(8|2|5) verläuft und den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$ hat.
- Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte Q(2|5|1) und R(3|2|2) verläuft.
Lösungen: - $g: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} 8\\2\\5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix} \quad t \in \mathbb{R}$
- $h: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\5\\1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix} \quad t \in \mathbb{R}$
In dem nachfolgenden Video wird erklärt, wie die Geradengleichung aufgestellt wird. Die Punkte P (2|3|1) und Q (3|5|2) sind gegeben und bilden eine Gerade. Zunächst wird der Verbindungsvektor zwischen P und Q durch die Linearkombination berechnet.
Punktprobe
Um festzustellen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Geraden liegt, setzt man einfach den Ortsvektor des Punktes in die Geradengleichung ein. Erhält man für alle Koordinaten denselben Wert für den Parameter t, wird also die Gleichung erfüllt, so liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.
Beispiel
Liegt der Punkt S (5|-4|4) auf der soeben bestimmten Geraden h?
Lösung:
$ \begin{pmatrix} 5\\-4\\4 \end{pmatrix} \overset{?}{=} \begin{pmatrix} 2\\5\\1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix} \quad t \in \mathbb{R}$.
Einfaches zeilenweises nachrechnen zeigt, dass diese Gleichung für $t=3$ erfüllt ist. Der Punkt S liegt also auf der Geraden h.
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