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Aufstellen einer Geradengleichung

Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und Richtungsvektor

Um eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt.

Methode

Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors kommen wir zu jedem beliebigen Punkt, der auf der Geraden liegt.

Der Ortsvektor $\vec{x}$ eines Punktes X auf der Geraden g kann also beschrieben werden als

$\vec{x}=\vec{p}+t \cdot \vec{v}$.

Gerade aus Punkt und Richtungsvektor
Geradengleichung aus Punkt und Richtungsvektor

Aufstellen der Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte

Ebenso kann eine Gerade durch zwei Punkte Q und R, durch die sie gehen soll, festgelegt werden. In diesem Falle wählen wir einen der Punkte als Aufpunkt und bestimmen als Richtungsvektor den Vektor zwischen diesen beiden Punkten. Es gilt dann

$\vec{x}=\overrightarrow{OQ} + t \cdot \overrightarrow{QR}$.

Gerade durch zwei Punkte
Gerade durch zwei Punkte

Beispiel

  1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(8|2|5) verläuft und den Richtungsvektor $\begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$ hat.
  2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch die Punkte Q(2|5|1) und R(3|2|2) verläuft.

    Lösungen:
  3. $g: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} 8\\2\\5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix} \quad t \in \mathbb{R}$
  4. $h: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\5\\1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix} \quad t \in \mathbb{R}$

In dem nachfolgenden Video wird erklärt, wie die Geradengleichung aufgestellt wird. Die Punkte P (2|3|1) und Q (3|5|2) sind gegeben und bilden eine Gerade. Zunächst wird der Verbindungsvektor zwischen P und Q durch die Linearkombination berechnet.

Video: Aufstellen einer Geradengleichung

Punktprobe

Um festzustellen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Geraden liegt, setzt man einfach den Ortsvektor des Punktes in die Geradengleichung ein. Erhält man für alle Koordinaten denselben Wert für den Parameter t, wird also die Gleichung erfüllt, so liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.

Beispiel

Liegt der Punkt S (5|-4|4) auf der soeben bestimmten Geraden h?

Lösung:

$ \begin{pmatrix} 5\\-4\\4 \end{pmatrix} \overset{?}{=} \begin{pmatrix} 2\\5\\1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\1 \end{pmatrix} \quad t \in \mathbb{R}$.

Einfaches zeilenweises nachrechnen zeigt, dass diese Gleichung für $t=3$ erfüllt ist. Der Punkt S liegt also auf der Geraden h.

Multiple-Choice
Bestimmen Sie a so, dass die Gerade g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\-2\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1\\3\\-2 \end{pmatrix}$ durch den Punkt P(-2|10|a) verläuft.
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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Aufstellen einer Geradengleichung

  • Martina Henn-Sax schrieb am 16.05.2013 um 22:35 Uhr
    Liebe Hanna, danke für Ihren wichtigen Hinweis. Wir vermuten, dass das von Ihnen beschriebene Problem seine Ursache in dem von Ihnen verwendeten Internetbrowser haben könnte. Bitte probieren Sie Firefox aus.
  • HannaRosenberger schrieb am 16.05.2013 um 12:33 Uhr
    Bei mir erscheint überall nur ( ) statt ein Vektor mit Koordinaten :( damit bringen mir die Beispiele nichts, und auch die Übung kann ich damit nicht machen.
Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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