Lage von Geraden
Hat man mit mehreren Geraden zu tun, so interessiert meist die gegenseitige Lage der Geraden zueinander.
In der (zweidimensionalen) Ebene war dies einfach. Entweder haben sich die Geraden geschnitten oder sie waren parallel zueinander. Als Spezialfall der Parallelität konnten die Geraden auch aufeinander liegen, man sagt dann auch sie sind identisch.
Als zusätzliche Möglichkeit im $\mathbb{R}^3$ können die Geraden jetzt auch „schräg aneinander vorbei“ laufen. Sie haben dann keinen Schnittpunkt und sind nicht parallel. Diesen Fall nennen wir windschief.
Untersuchen der Lage zweier Geraden zueinander
Methode
Um die Lage zweier Geraden zueinander zu überprüfen können wir wie folgt vorgehen:
Sind ihre Richtungsvektoren kollinear?
a) Ja: Die Geraden sind parallel oder identisch.
b) Nein: Die Geraden sind windschief zueinander oder sie schneiden sich.
Im Fall a) überprüfen wir, ob ein beliebiger Punkt (zum Beispiel der Aufpunkt) der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt (siehe Stichwort „Punktprobe“ im Kapitel „Punkte und Geraden“). Ist dies der Fall, so sind sie identisch, ansonsten sind sie parallel.
Im Fall b) schauen wir, ob es einen Schnittpunkt der Geraden gibt. Dazu setzen wir die Geradengleichungen gleich und erhalten ein LGS. Wenn das LGS eine Lösung besitzt, schneiden sich die Geraden, ist es unlösbar, so sind sie windschief zueinander.
Methode
Tipp: Zuerst die Richtungsvektoren überprüfen. Häufig kommt man dann um das LGS herum ;-). Andernfalls versucht man das LGS zu lösen und muss sich anschließend noch überlegen, was die Lösung denn bedeutet.
Insgesamt erweist sich also folgendes Vorgehen von Vorteil:
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