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Lage von Geraden

Geraden

Hat man mit mehreren Geraden zu tun, so interessiert meist die gegenseitige Lage der Geraden zueinander.

In der (zweidimensionalen) Ebene war dies einfach. Entweder haben sich die Geraden geschnitten oder sie waren parallel zueinander. Als Spezialfall der Parallelität konnten die Geraden auch aufeinander liegen, man sagt dann auch sie sind identisch.

Als zusätzliche Möglichkeit im $\mathbb{R}^3$ können die Geraden jetzt auch „schräg aneinander vorbei“ laufen. Sie haben dann keinen Schnittpunkt und sind nicht parallel. Diesen Fall nennen wir windschief.

Untersuchen der Lage zweier Geraden zueinander

Methode

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Um die Lage zweier Geraden zueinander zu überprüfen können wir wie folgt vorgehen:
Sind ihre Richtungsvektoren kollinear?
a) Ja: Die Geraden sind parallel oder identisch.
b) Nein: Die Geraden sind windschief zueinander oder sie schneiden sich.

Im Fall a) überprüfen wir, ob ein beliebiger Punkt (zum Beispiel der Aufpunkt) der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt (siehe Stichwort „Punktprobe“ im Kapitel „Punkte und Geraden“). Ist dies der Fall, so sind sie identisch, ansonsten sind sie parallel.

Im Fall b) schauen wir, ob es einen Schnittpunkt der Geraden gibt. Dazu setzen wir die Geradengleichungen gleich und erhalten ein LGS. Wenn das LGS eine Lösung besitzt, schneiden sich die Geraden, ist es unlösbar, so sind sie windschief zueinander.

Methode

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Tipp: Zuerst die Richtungsvektoren überprüfen. Häufig kommt man dann um das LGS herum ;-). Andernfalls versucht man das LGS zu lösen und muss sich anschließend noch überlegen, was die Lösung denn bedeutet.

Insgesamt erweist sich also folgendes Vorgehen von Vorteil:

Fallunterscheidung Geraden
Fallunterscheidung Geraden
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
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      • Lösungsmöglichkeiten
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    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
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  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
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    • Zusammenfassung Matrizen
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    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
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      • Beschreibung
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