Schnitt Gerade-Gerade
Über die Untersuchung der Lage zweier Geraden zueinander gibt es ein anderes Kapitel. Hier wollen wir uns mit einem Beispiel für den Schnitt zweier Geraden begnügen.
Beispiel
Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix}$.
Hierzu setzen wir die Geraden gleich und lösen das Gleichungssystem:
$g \cap h: \quad \begin{pmatrix} 0\\-1\\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix}$
$\begin{align} 0 + 1s &= 2 + 0t & 1s – 0t &= 2\\ -1 + 2s &= 4 + 1t & 2s – t &= 5\\ 3 – 1s &= 4 + 3t & -s -3t &= 1 \end{align}$.
Aus Zeile 1 folgt $s=2$. In Zeile 2 eingesetzt ergibt sich daraus für $t=-1$, ebenso in Zeile 3. Unser Gleichungssystem hat also die Lösungen $s=2, \quad t=-1$.
s in g eingesetzt ergibt: $\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$.
Dasselbe Ergebnis liefert natürlich t in h, wie man zur Probe nachrechnen kann:
$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} + {-1} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt S der beiden Geraden hat also die Koordinaten $S(2|3|1)$.
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