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Schnitte von Geraden

Geraden

Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält als Lösung also jeweils einen Wert für den Parameter t.

Merke

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Achtung: dieser Wert kann, muss aber bei beiden Geraden nicht derselbe sein! Daher sollten wir den beiden Parametern neue Namen geben, so dass wir sie unterscheiden können.

Nehmen wir also die Geraden g und h mit

$g: \quad \vec{x}= \vec{p} + t_g \cdot \vec{u}$ und

$h: \quad \vec{x}= \vec{q} + t_h \cdot \vec{v}$.

Gleichsetzen ergibt:

$\vec{p} + t_g \cdot \vec{u} = \vec{q} + t_h \cdot \vec{v}$ oder

$ t_g \cdot \vec{u} - t_h \cdot \vec{v} = \vec{q} - \vec{p}$.

Wenn dieses Gleichungssystem (eindeutig) lösbar ist, haben die beiden Geraden g und h einen Schnittpunkt S. Dessen Ortsvektor erhalten wir, indem die Lösung für $t_g$ in g bzw. die Lösung für $t_h$ in h eingesetzt wird. Dabei sollte – wenn keine Rechenfehler gemacht wurden – natürlich derselbe Vektor rauskommen.

Beispiel

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Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\4\\6 \end{pmatrix} + t_g \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}$ und h mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-4\\5 \end{pmatrix} + t_h \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix}$.

Lösung:

Ansatz g=h (zeilenweise):

$\begin{align*} 7 + 3 \cdot t_g & = 4 – 1 \cdot t_h \\ 4 + 1 \cdot t_g & = -4 + 2 \cdot t_h \\ 6 + 2 \cdot t_g & = 5 – 1 \cdot t_h\end{align*}$.

Umformen ergibt:

$\begin{align*}  3 \cdot t_g + 1 \cdot t_h & = –3 \\  1 \cdot t_g – 2 \cdot t_h & = -8 \\ 2 \cdot t_g + 1 \cdot t_h & = –1 \end{align*}$.

Subtrahiert man die dritte von der ersten Zeile, bleibt $t_g = -2$. Eingesetzt ergibt sich in jeder Zeile $t_h = 3$ (wir haben uns also offensichtlich bisher nicht verrechnet).

Bestimmen des Schnittpunktes:

$t_g$ in g eingesetzt ergibt $\vec{x} = \begin{pmatrix} 7\\4\\6 \end{pmatrix} – 2 \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$.

Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten S (1|2|2).

Ebenso ergibt das Einsetzen von $t_h$ in h den gesuchten Punkt, wie ein einfaches Nachrechnen zeigt:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 4\\-4\\5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
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    • Vektoren und Winkel
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    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
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    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
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      • Einleitung zu Abstandsprobleme
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      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
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    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
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      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
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      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
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