Schnitte von Geraden
Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält als Lösung also jeweils einen Wert für den Parameter t.
Merke
Achtung: dieser Wert kann, muss aber bei beiden Geraden nicht derselbe sein! Daher sollten wir den beiden Parametern neue Namen geben, so dass wir sie unterscheiden können.
Nehmen wir also die Geraden g und h mit
$g: \quad \vec{x}= \vec{p} + t_g \cdot \vec{u}$ und
$h: \quad \vec{x}= \vec{q} + t_h \cdot \vec{v}$.
Gleichsetzen ergibt:
$\vec{p} + t_g \cdot \vec{u} = \vec{q} + t_h \cdot \vec{v}$ oder
$ t_g \cdot \vec{u} - t_h \cdot \vec{v} = \vec{q} - \vec{p}$.
Wenn dieses Gleichungssystem (eindeutig) lösbar ist, haben die beiden Geraden g und h einen Schnittpunkt S. Dessen Ortsvektor erhalten wir, indem die Lösung für $t_g$ in g bzw. die Lösung für $t_h$ in h eingesetzt wird. Dabei sollte – wenn keine Rechenfehler gemacht wurden – natürlich derselbe Vektor rauskommen.
Beispiel
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\4\\6 \end{pmatrix} + t_g \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}$ und h mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-4\\5 \end{pmatrix} + t_h \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix}$.
Lösung:
Ansatz g=h (zeilenweise):
$\begin{align*} 7 + 3 \cdot t_g & = 4 – 1 \cdot t_h \\ 4 + 1 \cdot t_g & = -4 + 2 \cdot t_h \\ 6 + 2 \cdot t_g & = 5 – 1 \cdot t_h\end{align*}$.
Umformen ergibt:
$\begin{align*} 3 \cdot t_g + 1 \cdot t_h & = –3 \\ 1 \cdot t_g – 2 \cdot t_h & = -8 \\ 2 \cdot t_g + 1 \cdot t_h & = –1 \end{align*}$.
Subtrahiert man die dritte von der ersten Zeile, bleibt $t_g = -2$. Eingesetzt ergibt sich in jeder Zeile $t_h = 3$ (wir haben uns also offensichtlich bisher nicht verrechnet).
Bestimmen des Schnittpunktes:
$t_g$ in g eingesetzt ergibt $\vec{x} = \begin{pmatrix} 7\\4\\6 \end{pmatrix} – 2 \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$.
Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten S (1|2|2).
Ebenso ergibt das Einsetzen von $t_h$ in h den gesuchten Punkt, wie ein einfaches Nachrechnen zeigt:
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 4\\-4\\5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$.
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