abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 195 Lernvideos
  • 414 Lerntexte
  • 598 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben
gratis testen

Schnitte von Geraden

Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält als Lösung also jeweils einen Wert für den Parameter t.

Merke

Achtung: dieser Wert kann, muss aber bei beiden Geraden nicht derselbe sein! Daher sollten wir den beiden Parametern neue Namen geben, so dass wir sie unterscheiden können.

Nehmen wir also die Geraden g und h mit

$g: \quad \vec{x}= \vec{p} + t_g \cdot \vec{u}$ und

$h: \quad \vec{x}= \vec{q} + t_h \cdot \vec{v}$.

Gleichsetzen ergibt:

$\vec{p} + t_g \cdot \vec{u} = \vec{q} + t_h \cdot \vec{v}$ oder

$ t_g \cdot \vec{u} - t_h \cdot \vec{v} = \vec{q} - \vec{p}$.

Wenn dieses Gleichungssystem (eindeutig) lösbar ist, haben die beiden Geraden g und h einen Schnittpunkt S. Dessen Ortsvektor erhalten wir, indem die Lösung für $t_g$ in g bzw. die Lösung für $t_h$ in h eingesetzt wird. Dabei sollte – wenn keine Rechenfehler gemacht wurden – natürlich derselbe Vektor rauskommen.

Beispiel

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\4\\6 \end{pmatrix} + t_g \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}$ und h mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-4\\5 \end{pmatrix} + t_h \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix}$.

Lösung:

Ansatz g=h (zeilenweise):

$\begin{align*} 7 + 3 \cdot t_g & = 4 – 1 \cdot t_h \\ 4 + 1 \cdot t_g & = -4 + 2 \cdot t_h \\ 6 + 2 \cdot t_g & = 5 – 1 \cdot t_h\end{align*}$.

Umformen ergibt:

$\begin{align*}  3 \cdot t_g + 1 \cdot t_h & = –3 \\  1 \cdot t_g – 2 \cdot t_h & = -8 \\ 2 \cdot t_g + 1 \cdot t_h & = –1 \end{align*}$.

Subtrahiert man die dritte von der ersten Zeile, bleibt $t_g = -2$. Eingesetzt ergibt sich in jeder Zeile $t_h = 3$ (wir haben uns also offensichtlich bisher nicht verrechnet).

Bestimmen des Schnittpunktes:

$t_g$ in g eingesetzt ergibt $\vec{x} = \begin{pmatrix} 7\\4\\6 \end{pmatrix} – 2 \cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$.

Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten S (1|2|2).

Ebenso ergibt das Einsetzen von $t_h$ in h den gesuchten Punkt, wie ein einfaches Nachrechnen zeigt:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 4\\-4\\5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$.

Multiple-Choice
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 8\\10\\-2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\-4 \end{pmatrix}$ und h mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 6\\-2\\6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 8\\-12\\4 \end{pmatrix}$.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
    • Multiplikation von Matrizen
    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
      • Mehrstufige Prozesse
    • Übergangsmatrizen
      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
      • Zustandsvektoren
      • Fixvektor
  • 69
  • 23
  • 196
  • 17

Unsere Nutzer sagen:

  • Miriam

    Miriam

    "Ich finde abiweb.de sehr hilfreich und die Themen sehr gut erklärt!! Vielen Dank!!"
  • Jens

    Jens

    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
  • Michaela

    Michaela

    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 20% bei deiner Kursbuchung!

20% Coupon: abitur20

Zu den Online-Kursen