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Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems

Lineare Gleichungssysteme
Lösen eines linearen Gleichungssystems

Grundsätzlich ist zu sagen, dass wir beim Lösen der Gleichungssysteme jetzt "von Hand" vorgehen. Taschenrechner bzw. Computerprogramme können uns zwar das Rechnen später abnehmen, dennoch sollten wir dafür erst einmal verstehen, was hierbei passiert, was gemacht werden darf und was nicht.

Beispiel

Wenn uns ein Gleichungssystem der Form
$ \begin{alignat} {3}
&4 x_1 &+ 2 x_2 &+ 7 x_3 &= &21 \\
&         &   2 x_2 &+ 3 x_3 &= &1 \\
&         &             &   2 x_3 &= &6
\end{alignat} $

begegnet, so ist dessen Lösung sicherlich einfach zu bekommen.

Methode

Man setzt die Information aus der dritten Zeile ($ x_3 = 3$) in die zweite ein und erhält damit Informationen über x2. Zuletzt kann man mit diesen beiden Informationen noch die Lösung für x1 berechnen.

Leider liegen LGS meistens nicht in dieser handlichen Form vor. Dennoch ist das grundsätzliche Ziel gleich: Wir wollen die Informationen, die in den Gleichungen stecken, so miteinander verbinden, dass die Lösung für alle Unbekannten ersichtlich wird.

Dafür muss uns klar sein, welche Umformungen und Rechnungen bei Gleichungssystemen erlaubt sind. Generell darf man an einer Gleichung Äquivalenzumformungen vornehmen, das sind Operationen, die die Aussage einer Gleichung nicht verändern, sie also gleichwertig lassen.

  1. So ist zum Beispiel das Multiplizieren einer Gleichung mit einer reellen, von Null verschiedenen Zahl eine solche Äquivalenzumformung: Die Aussage 1 Eis kostet 2 Euro ist mathematisch gleichwertig zur Behauptung, dass für 4 Eis letztlich 8 Euro zu bezahlen sind. Hier wurde sowohl links als auch rechts des Gleichheitszeichens (also bei Eis und bei Euro) mit demselben Faktor (nämlich 4) multipliziert.
  2. Weiterhin ist es erlaubt, die Gleichungen innerhalb des LGS zu vertauschen. Mathematisch ist es hier völlig egal, welche Aussage zuerst getroffen wird.
  3. Die dritte (und am anspruchsvollsten zu verstehende) Möglichkeit ist, eine Gleichung durch die Summe von sich selbst mit einer anderen Gleichung des LGS zu ersetzen. Selbstverständlich kann man auch die Differenz zweier Gleichungen verwenden (das entspricht der Addition mit dem (-1)-fachen). Wenn 2 Brötchen und 3 Brezeln 2,60 € kosten und 2 Brezeln 1,20 €, können wir diese Informationen so zusammenbringen, dass wir für 3 Brezeln den Preis von 1,80 € berechnen und diesen von den Kosten in der ersten Gleichung abziehen. Bleiben also 80 Cent für die beiden Brötchen.

Diese drei "Werkzeuge" reichen uns aus, um jedes lösbare LGS zu knacken. Wie das im Detail geht, erarbeiten wir uns Schritt für Schritt.

Multiple-Choice
Folgende Rechenoperationen bei linearen Gleichungssystemen sind Äquivalenzumformungen:
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
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