Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
Grundsätzlich ist zu sagen, dass wir beim Lösen der Gleichungssysteme jetzt "von Hand" vorgehen. Taschenrechner bzw. Computerprogramme können uns zwar das Rechnen später abnehmen, dennoch sollten wir dafür erst einmal verstehen, was hierbei passiert, was gemacht werden darf und was nicht.
Beispiel
Wenn uns ein Gleichungssystem der Form
$ \begin{alignat} {3}
&4 x_1 &+ 2 x_2 &+ 7 x_3 &= &21 \\
& & 2 x_2 &+ 3 x_3 &= &1 \\
& & & 2 x_3 &= &6
\end{alignat} $
begegnet, so ist dessen Lösung sicherlich einfach zu bekommen.
Methode
Man setzt die Information aus der dritten Zeile ($ x_3 = 3$) in die zweite ein und erhält damit Informationen über x2. Zuletzt kann man mit diesen beiden Informationen noch die Lösung für x1 berechnen.
Leider liegen LGS meistens nicht in dieser handlichen Form vor. Dennoch ist das grundsätzliche Ziel gleich: Wir wollen die Informationen, die in den Gleichungen stecken, so miteinander verbinden, dass die Lösung für alle Unbekannten ersichtlich wird.
Dafür muss uns klar sein, welche Umformungen und Rechnungen bei Gleichungssystemen erlaubt sind. Generell darf man an einer Gleichung Äquivalenzumformungen vornehmen, das sind Operationen, die die Aussage einer Gleichung nicht verändern, sie also gleichwertig lassen.
- So ist zum Beispiel das Multiplizieren einer Gleichung mit einer reellen, von Null verschiedenen Zahl eine solche Äquivalenzumformung: Die Aussage 1 Eis kostet 2 Euro ist mathematisch gleichwertig zur Behauptung, dass für 4 Eis letztlich 8 Euro zu bezahlen sind. Hier wurde sowohl links als auch rechts des Gleichheitszeichens (also bei Eis und bei Euro) mit demselben Faktor (nämlich 4) multipliziert.
- Weiterhin ist es erlaubt, die Gleichungen innerhalb des LGS zu vertauschen. Mathematisch ist es hier völlig egal, welche Aussage zuerst getroffen wird.
- Die dritte (und am anspruchsvollsten zu verstehende) Möglichkeit ist, eine Gleichung durch die Summe von sich selbst mit einer anderen Gleichung des LGS zu ersetzen. Selbstverständlich kann man auch die Differenz zweier Gleichungen verwenden (das entspricht der Addition mit dem (-1)-fachen). Wenn 2 Brötchen und 3 Brezeln 2,60 € kosten und 2 Brezeln 1,20 €, können wir diese Informationen so zusammenbringen, dass wir für 3 Brezeln den Preis von 1,80 € berechnen und diesen von den Kosten in der ersten Gleichung abziehen. Bleiben also 80 Cent für die beiden Brötchen.
Diese drei "Werkzeuge" reichen uns aus, um jedes lösbare LGS zu knacken. Wie das im Detail geht, erarbeiten wir uns Schritt für Schritt.
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