Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
Ist ein Vektor durch eine Linearkombination zweier anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss.
Beispiel des Nachweises einer linearen Abhängigkeit
Beispiel
Sind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ linear abhängig?
Die Frage ist gleichbedeutend mit: Gibt es eine Linearkombination $r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}=\vec{c}$?
$\begin{align*}r\cdot 1 + s\cdot 0 & = 2\\ r\cdot 2 + s\cdot (-1) &= 1 \\ r\cdot 1 + s\cdot 2 &= 8\end{align*}$
Gehen wir zur Lösung der Frage schrittweise vor:
An den x1-Einträgen sieht man, dass $r=2$ sein muss ($r\cdot 1 + s\cdot 0 = 2$).
Damit ergibt sich aus der zweiten Zeile $s=3$ ($2 \cdot 2 + s \cdot {-1} = 8$).
Ein Einsetzen von r und s in der dritten Zeile ergibt eine wahre Aussage ($2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8$).
Somit gilt $2\cdot\vec{a}+3\cdot\vec{b}=\vec{c}$ und somit, dass die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig sind.
Ein weiteres Beispiel für die "Abhängigkeit" gibt es hier im Video:
Video: Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
Beispiel für lineare Unabhängigkeit
Beispiel
Sind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}$ linear abhängig?
Wir fragen wieder: $r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}=\vec{c}$?
$\begin{align*}r\cdot 1 + s\cdot 0 & = 2\\ r\cdot 3 + s\cdot 1 &= 4 \\ r\cdot 2 + s\cdot 2 &= 2\end{align*}$
Die erste Zeile liefert uns wieder $r=2$.
Eingesetzt in die zweite Zeile ergibt sich $s={-2}$.
In der dritten Zeile ergibt sich aber ein Widerspruch ($2 \cdot 2 – 2 \cdot 2 \neq 2$).
Somit existiert keine passende Linearkombination und die Vektoren sind linear unabhängig zueinander.
Merke
Anmerkung:
Klar ist, dass es in einer Ebene nicht mehr als 2 zueinander linear unabhängige Vektoren geben kann. Ebenso gilt im Dreidimensionalen, dass 3 linear unabhängige Vektoren ausreichen, um zu jedem Punkt im Raum zu gelangen. Also kann jeder Vektor durch eine Linearkombination dreier linear unabhängiger Vektoren dargestellt werden.
Einfachstes Beispiel: Jeder Vektor im $\mathbb{R}^3$ kann durch eine Kombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ beschrieben werden.
Ein weiteres Beispiel für die "Unabhängigkeit" findet sich hier:
Video: Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
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