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Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Ist ein Vektor durch eine Linearkombination zweier anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss.

Beispiel des Nachweises einer linearen Abhängigkeit

Beispiel

Sind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ linear abhängig?

Die Frage ist gleichbedeutend mit: Gibt es eine Linearkombination $r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}=\vec{c}$?

$\begin{align*}r\cdot 1 + s\cdot 0  & = 2\\ r\cdot 2 + s\cdot (-1) &= 1 \\ r\cdot 1 + s\cdot 2 &= 8\end{align*}$

Gehen wir zur Lösung der Frage schrittweise vor:

An den x1-Einträgen sieht man, dass $r=2$ sein muss ($r\cdot 1 + s\cdot 0 = 2$).

Damit ergibt sich aus der zweiten Zeile $s=3$ ($2 \cdot 2 + s \cdot {-1} = 8$).

Ein Einsetzen von r und s in der dritten Zeile ergibt eine wahre Aussage ($2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8$).

Somit gilt $2\cdot\vec{a}+3\cdot\vec{b}=\vec{c}$ und somit, dass die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig sind.

Ein weiteres Beispiel für die "Abhängigkeit" gibt es hier im Video:

Video: Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Beispiel für lineare Unabhängigkeit

Beispiel

Sind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}$ linear abhängig?

Wir fragen wieder: $r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}=\vec{c}$?

$\begin{align*}r\cdot 1 + s\cdot 0  & = 2\\ r\cdot 3 + s\cdot 1 &= 4 \\ r\cdot 2 + s\cdot 2 &= 2\end{align*}$

Die erste Zeile liefert uns wieder $r=2$.

Eingesetzt in die zweite Zeile ergibt sich $s={-2}$.

In der dritten Zeile ergibt sich aber ein Widerspruch ($2 \cdot 2 – 2 \cdot 2 \neq 2$).

Somit existiert keine passende Linearkombination und die Vektoren sind linear unabhängig zueinander.

Merke

Anmerkung:
Klar ist, dass es in einer Ebene nicht mehr als 2 zueinander linear unabhängige Vektoren geben kann. Ebenso gilt im Dreidimensionalen, dass 3 linear unabhängige Vektoren ausreichen, um zu jedem Punkt im Raum zu gelangen. Also kann jeder Vektor durch eine Linearkombination dreier linear unabhängiger Vektoren dargestellt werden.

Einfachstes Beispiel: Jeder Vektor im $\mathbb{R}^3$ kann durch eine Kombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

Ein weiteres Beispiel für die "Unabhängigkeit" findet sich hier:

Video: Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
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