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Vielfache von Vektoren bilden

Rechnen mit Vektoren

Wenn wir mit dem Vielfachen eines Vektors zu tun haben, so bedeutet das nichts anderes als eine mehrfach ausgeführte Verschiebung.

Beispiel

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$3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}$ bedeutet eine Verschiebung von $3 \cdot 2$ in x1-Richtung, $3 \cdot 1$ in x2-Richtung und $3 \cdot 5$ in x3-Richtung.

Es gilt also $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\3\\15\end{pmatrix}$.

Dasselbe gilt natürlich auch, wenn man eine Verschiebung nur zu einem Teil durchführen will, z.B. $\frac{1}{2} \cdot\begin{pmatrix}2\\6\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\3\\2\end{pmatrix}$.

Merke

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Allgemein gilt: Ein Vektor $\vec{a}$ wird mit einer reellen Zahl r multipliziert, indem jeder Eintrag des Vektors mit r multipliziert wird.

Vielfache eines Vektors
Vielfache eines Vektors

Genauer wird auf Vielfache von Vektoren noch einmal im folgenden Video eingegangen:

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnmerkungen:
  1. Eine Multiplikation mit -1 ergibt den Gegenvektor. Eine Multiplikation mit Null ergibt immer den Nullvektor.
  2. Anstatt Vielfaches (oder Anteil) einer Verschiebung kann man sich genauso einen um den Faktor r gestreckten (oder gestauchten) Vektor vorstellen.

Kollinearität

Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind, also gilt $\vec{a}=r\cdot\vec{b}$ mit $r\in\mathbb{R}$.
Bildlich gesprochen weisen die zugehörigen Pfeile in dieselbe Richtung. Überprüfen kann man Vektoren auf Kollinearität, indem man ihre Einträge einzeln miteinander vergleicht. Unterscheiden sich alle Koordinaten jeweils um denselben Faktor, so sind die Vektoren kollinear.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
      • Inverse Matrix
  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
    • Multiplikation von Matrizen
    • Zusammenfassung Matrizen
  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
    • Verflechtungsmatrizen
      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
      • Mehrstufige Prozesse
    • Übergangsmatrizen
      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
      • Beschreibung
      • Zustandsvektoren
      • Fixvektor
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