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Schnitt Ebene-Ebene

Wie wir schon festgestellt haben schneiden sich zwei Ebenen in einer Schnittgeraden, wenn sie nicht parallel sind. Ein Gleichsetzen der Ebenengleichung führt demnach auf ein lineares Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen (alle Punkte einer Geraden) haben muss.

Beispiel

Zwei Ebenen in Koordinatenform sind gegeben mit $E:  3x_1+2x_2-x_3 = 5$ und $F:  2x_1-x_2+x_3 = 3$. Wir erhalten also ein LGS mit:
$\begin{align} 3x_1 + 2x_2 – x_3 &= 5 \\ 2x_1 – x_2 + x_3 &= 3\\ \text{(1)+(2) ergibt}\\ 5x_1 + x_2 &= 8 \\ \text{wähle nun für $x_1=t$:} \\ x_2 &= 8-5t \\ \text{in Zeile (2) eingesetzt ergibt sich} \\ 2t – 8 + 5t + x_3 &= 3 \\ x_3 &= 11 – 7t \end{align}$.
Als Ergebnis steht also nun (in Abhängigkeit von t) da:
$\begin{align} x_1 &= t \\ x_2 &= 8-5t \\ x_3 &= 11-7t \end{align}$ oder ausführlicher $\begin{align}x_1 &= 0 + t \cdot 1 \\ x_2 &= 8 + t \cdot (-5)\\ x_3 &= 11 + t \cdot (-7) \end{align}$,
was sich in Vektorschreibweise auch wie folgt schreiben lässt:
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\8\\11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}$ und unserer gesuchten Geradengleichung entspricht.

Das Schneiden zweier Ebenen ist auch Bestandteil einer Abituraufgabe, die im folgenden Video ausführlich gelöst wird:

Video: Schnitt Ebene-Ebene

Multiple-Choice
Zwei Ebenen im $\mathbb{R}^3$ schneiden sich in genau einem Punkt. Diese Aussage ist...
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Schnitt Ebene-Ebene

  • Andreas Erb schrieb am 08.03.2015 um 16:58 Uhr
    In Zeile 2 steht ja -x2. Wenn ich jetzt x2 durch 8-5t ersetze bekomme ich -(8-5t) und das ist -8+5t. Stichwort: Minusklammer auflösen! ;-)
  • Harun Soylik schrieb am 07.03.2015 um 17:34 Uhr
    Hallo, eine Frage: Warum steht im Beispiel, als in Zeile 2 alles eingesetzt wurde, 2t -8 + 5t + x3 ? Müsste es nicht 2t -8 - 5t + x3 sein?
Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
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    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
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    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
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    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
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