Schnitt Ebene-Ebene
Wie wir schon festgestellt haben schneiden sich zwei Ebenen in einer Schnittgeraden, wenn sie nicht parallel sind. Ein Gleichsetzen der Ebenengleichung führt demnach auf ein lineares Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen (alle Punkte einer Geraden) haben muss.
Beispiel
Zwei Ebenen in Koordinatenform sind gegeben mit $E: 3x_1+2x_2-x_3 = 5$ und $F: 2x_1-x_2+x_3 = 3$. Wir erhalten also ein LGS mit:
$\begin{align} 3x_1 + 2x_2 – x_3 &= 5 \\ 2x_1 – x_2 + x_3 &= 3\\ \text{(1)+(2) ergibt}\\ 5x_1 + x_2 &= 8 \\ \text{wähle nun für $x_1=t$:} \\ x_2 &= 8-5t \\ \text{in Zeile (2) eingesetzt ergibt sich} \\ 2t – 8 + 5t + x_3 &= 3 \\ x_3 &= 11 – 7t \end{align}$.
Als Ergebnis steht also nun (in Abhängigkeit von t) da:
$\begin{align} x_1 &= t \\ x_2 &= 8-5t \\ x_3 &= 11-7t \end{align}$ oder ausführlicher $\begin{align}x_1 &= 0 + t \cdot 1 \\ x_2 &= 8 + t \cdot (-5)\\ x_3 &= 11 + t \cdot (-7) \end{align}$,
was sich in Vektorschreibweise auch wie folgt schreiben lässt:
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\8\\11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ -7 \end{pmatrix}$ und unserer gesuchten Geradengleichung entspricht.
Das Schneiden zweier Ebenen ist auch Bestandteil einer Abituraufgabe, die im folgenden Video ausführlich gelöst wird:
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Lösungsmöglichkeiten
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Lösungsmöglichkeiten (Lineare Gleichungssysteme) aus unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) interessant.
-
Schnitt Ebene-Gerade
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Schnitt Ebene-Gerade (Schnitte) aus unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) interessant.
zum Kurs 
