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Spiegelung an einem Punkt

Spiegelung eines Punktes an einem Punkt

Soll ein Punkt P am Punkt S gespiegelt werden, so brauchen wir lediglich den Vektor $\overrightarrow{PS}$. Mit diesem gelangen wir vom Punkt P zum Punkt S. Um in derselben Richtung dieselbe Strecke auf der anderen Seite von S zurückzulegen, gehen wir einfach noch einmal diesen Vektor und landen dann beim gesuchten Punkt P'. Für den Punkt P' gilt also:

Methode

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Ortsvektor von P' = Ortsvektor von P + 2mal Verbindungsvektor von P nach S oder mathematisch $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS}$.

Beispiel

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Der Punkt $P(1|1|2)$ soll am Punkt $S(2|5|0)$ gespiegelt werden.

Um die Koordinaten des Bildpunktes P' zu bekommen, bestimmen wir zuerst den Vektor von P zu S:
$\overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 5-1 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$
Anschließend berechnen wir den Ortsvektor von P':
$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -2 \end{pmatrix}$
Der gesuchte Bildpunkt hat also die Koordinaten $P'(3|9|-2)$.

Selbstverständlich muss man zur Berechnung der Koordinaten des Bildpunktes nicht unbedingt bei P starten, es gilt ebenso $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}$. Das sieht sogar noch einfacher aus als die oben erklärte Möglichkeit. Warum wir trotzdem den Weg von P aus gehen hat prinzipielle Gründe: Unser Vorgehen hier können wir auf die anderen Spiegelungen dann (beinahe) 1 zu 1 übertragen.

Spiegelung einer Geraden an einem Punkt

Eine Gerade g kann an einem Punkt S gespiegelt werden, indem man zwei Punkte der Geraden am Punkt S spiegelt und anschließend eine Gerade durch die beiden gespiegelten Punkte legt.

Beispiel

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Die Gerade g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ soll am Punkt $S(2|2|2)$ gespiegelt werden.
Als Punkte von g wählen wir den Aufpunkt $A(1|2|0)$ und einen weiteren Punkt (z.B. für t=1) $B(4|2|2)$. Mit diesen führen wir nun eine Punktspiegelung an S durch:
$\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{AS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OB'}= \overrightarrow{OB} + 2 \cdot \overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Zuletzt stellen wir die Gerade durch A' und B' auf mit g': $\vec{x}= \overrightarrow{OA'} + t \cdot \overrightarrow{A'B'} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Wir erkennen, dass die ursprüngliche Gerade und die Bildgerade parallel zueinander verlaufen! Im Prinzip reicht uns daher auch hier das Spiegeln von einem Punkt und die Übernahme des Richtungsvektors. Trotzdem wird aus "Sicherheitsgründen" dazu geraten, das obige Verfahren durchzuführen. Zu groß ist sonst die Verwechslungsgefahr mit anderen Spiegelungen.

Spiegelung einer Ebene an einem Punkt

Die Spiegelung einer Ebene in Parameterform an einem Punkt kann identisch zu der einer Geraden durchgeführt werden, allerdings benötigen wir dazu drei Punkte der Ebene.

Wesentlich eleganter und leichter ist es eine Ebene in Normalenform an einem Punkt S zu spiegeln. Da die Bildebene parallel zur Ursprungsebene sein muss können wir den Normalenvektor einfach übernehmen. Lediglich der gegebene Punkt P der Ebene muss an S gespiegelt werden. Anschließend setzt man den Bildpunkt P' an Stelle des Punktes P in die Normalengleichung ein und schon ist man fertig.

Mit dieser Überlegung lassen sich auch Ebenen in Parameter- oder Normalenform ganz einfach an einem Punkt spiegeln: Man spiegelt lediglich einen Punkt der Ebene und übernimmt (bei der Parameterform) die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor (Normalenform) der ursprünglichen Ebene.

Multiple-Choice
Die Ebene E: $3x_1+x_2=-3$ soll am Punkt S(1|3|1) gespiegelt werden. Welche der Ebenen ist die Bildebene E'?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Spiegelung an einem Punkt

  • Andreas Erb schrieb am 11.11.2014 um 15:39 Uhr
    Hallo Philipp, du hast Recht! Der Punkt B' hat die Koordinaten (0|2|2), der Richtungsvektor der gespiegelten Geraden ist dann entsprechend (3|0|-2). Ich habe es im Text soeben geändert.
  • Philipp schrieb am 10.11.2014 um 17:19 Uhr
    Also bei dem Ortsvektor zu B´ komme ich auf ein anderes Ergebnis. Ich komme hier auf (0/2/2) und nicht wie sie (0/2/0). Liegt der Fehler bei mir oder bei Ihnen?
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
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    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
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    • Spiegelung an einer Geraden
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Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

    Ein Kursnutzer am 01.02.2016:
    "alles topp soweit"