Spiegelung an einem Punkt
Spiegelung eines Punktes an einem Punkt
Soll ein Punkt P am Punkt S gespiegelt werden, so brauchen wir lediglich den Vektor $\overrightarrow{PS}$. Mit diesem gelangen wir vom Punkt P zum Punkt S. Um in derselben Richtung dieselbe Strecke auf der anderen Seite von S zurückzulegen, gehen wir einfach noch einmal diesen Vektor und landen dann beim gesuchten Punkt P'. Für den Punkt P' gilt also:
Methode
Ortsvektor von P' = Ortsvektor von P + 2mal Verbindungsvektor von P nach S oder mathematisch $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS}$.
Beispiel
Der Punkt $P(1|1|2)$ soll am Punkt $S(2|5|0)$ gespiegelt werden.
Um die Koordinaten des Bildpunktes P' zu bekommen, bestimmen wir zuerst den Vektor von P zu S:
$\overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 5-1 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$
Anschließend berechnen wir den Ortsvektor von P':
$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -2 \end{pmatrix}$
Der gesuchte Bildpunkt hat also die Koordinaten $P'(3|9|-2)$.
Selbstverständlich muss man zur Berechnung der Koordinaten des Bildpunktes nicht unbedingt bei P starten, es gilt ebenso $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{PS}$. Das sieht sogar noch einfacher aus als die oben erklärte Möglichkeit. Warum wir trotzdem den Weg von P aus gehen hat prinzipielle Gründe: Unser Vorgehen hier können wir auf die anderen Spiegelungen dann (beinahe) 1 zu 1 übertragen.
Spiegelung einer Geraden an einem Punkt
Eine Gerade g kann an einem Punkt S gespiegelt werden, indem man zwei Punkte der Geraden am Punkt S spiegelt und anschließend eine Gerade durch die beiden gespiegelten Punkte legt.
Beispiel
Die Gerade g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ soll am Punkt $S(2|2|2)$ gespiegelt werden.
Als Punkte von g wählen wir den Aufpunkt $A(1|2|0)$ und einen weiteren Punkt (z.B. für t=1) $B(4|2|2)$. Mit diesen führen wir nun eine Punktspiegelung an S durch:
$\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{AS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OB'}= \overrightarrow{OB} + 2 \cdot \overrightarrow{BS} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Zuletzt stellen wir die Gerade durch A' und B' auf mit g': $\vec{x}= \overrightarrow{OA'} + t \cdot \overrightarrow{A'B'} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Wir erkennen, dass die ursprüngliche Gerade und die Bildgerade parallel zueinander verlaufen! Im Prinzip reicht uns daher auch hier das Spiegeln von einem Punkt und die Übernahme des Richtungsvektors. Trotzdem wird aus "Sicherheitsgründen" dazu geraten, das obige Verfahren durchzuführen. Zu groß ist sonst die Verwechslungsgefahr mit anderen Spiegelungen.
Spiegelung einer Ebene an einem Punkt
Die Spiegelung einer Ebene in Parameterform an einem Punkt kann identisch zu der einer Geraden durchgeführt werden, allerdings benötigen wir dazu drei Punkte der Ebene.
Wesentlich eleganter und leichter ist es eine Ebene in Normalenform an einem Punkt S zu spiegeln. Da die Bildebene parallel zur Ursprungsebene sein muss können wir den Normalenvektor einfach übernehmen. Lediglich der gegebene Punkt P der Ebene muss an S gespiegelt werden. Anschließend setzt man den Bildpunkt P' an Stelle des Punktes P in die Normalengleichung ein und schon ist man fertig.
Mit dieser Überlegung lassen sich auch Ebenen in Parameter- oder Normalenform ganz einfach an einem Punkt spiegeln: Man spiegelt lediglich einen Punkt der Ebene und übernimmt (bei der Parameterform) die Spannvektoren bzw. den Normalenvektor (Normalenform) der ursprünglichen Ebene.
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