Quantenmechanische Deutung

Es sollen hier die wesentlichen quantenmechanischen Resultate verdeutlicht werden, die aus dem Potentialtopfmodell hervorgehen.

Wellenfunktionen & Wahrscheinlichkeitsdichten

Interessant ist es nun, wenn man sich zu den Energiewerten $E_n$ die zugehörigen Wellenfunktionen $\Psi_n(x)$ und Wahrscheinlichkeitsdichten $\Psi_n^2(x)$ anschaut.

Im Diagramm sind die ersten drei Ergebnisse für $n=1$, $n=2$ und $n=3$ aufgetragen. Die Energie ist relativ angegeben ($E_n\sim n^2$); d.h. es wurde lediglich der Vorfaktor zur Vereinfachung der Darstellung weggelassen. Zu den Energieniveaus findet man auf der rechten Seite die Wellenfunktionen und die Wahrscheinlichkeitsdichten.

Die ersten drei Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Es ist auffällig, dass die Wellenfunktionen, welche das Teilchen im Potentialtopf beschreiben, den Charakter stehender Wellen aufweisen.

Darüber hinaus gibt es aber noch wesentlich weitere Ergebnisse, die der klassischen Ansicht über Teilchen widersprechen. Die folgenden Aussagen sind signifikant für die Quantenmechanik und verdeutlichen sehr genau, wie weit die Welt der Quantenphysik von den Vorstellungen der Alltagsphysik abweicht.

Quantenmechanische Aussagen

• Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im Kasten ist nicht überall konstant gleich, was nach der klassischen Theorie zu erwarten wäre. Denn für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit $P(x)$ gilt ja quantenmechanisch $P(x)\sim \Psi^2(x)$ und dadurch dass es Knoten und Wellenberge gibt, kann sie nicht konstant sein. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzt, wie man der Grafik entnimmt, sogar lokale Maxima und Minima.
• Die Energie $E$, die das Teilchen annehmen kann, ist gequantelt. (Klassisch wären auch andere Energiewerte erlaubt.) Ausserdem kann das Teilchen die Energie Null nicht annehmen, denn sonst wäre $n=0$ und damit $\Psi=0$, was (wie zuvor besprochen) äquivalent dazu wäre, dass gar kein Teilchen existiert.