Fixvektor
Ein FixVektor beschreibt einen stabilen Zustand, also einen Zustand, der sich durch Anwenden der Übergangsmatrix nicht mehr ändert. Dieser Zustand wird auch „stationärer“ Zustand genannt. Häufig wird in Aufgaben verlangt, den Fixvektor zu einem gegebenem System zu bestimmen bzw. zuerst auf seine Existenz zu prüfen.
Mathematisch betrachtet ist der Vektor $\vec v $ gesucht, für den gilt $M \cdot \vec v = \vec v$. Dieser kann (wenn es ihn denn gibt) aus dem zugehörigen Gleichungssystem allgemein bestimmt werden. In einem zweiten Schritt kann dann der zu einem gegebenen Zustandsvektor $\vec {v_0}$ gehörige Fixvektor bestimmt werden.
Nehmen wir unsere Übergangsmatrix aus dem letzten Kapitel $M = \begin{pmatrix} 0,6 & 0,05 & 0,3 \\ 0,1 & 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,15 & 0,5 \end{pmatrix}$. Aus der Bedingung $M \cdot \vec v = \vec v$ ergibt sich folgendes Gleichungssystem
$\begin{alignat*}{3} 0,6a & + 0,05b & + 0,3c & = & a \\ 0,1a & + 0,8b & + 0,2c & = & b \\ 0,3a & + 0,15b & + 0,5c & = & c \end{alignat*}$ bzw. $\begin{alignat*}{3} -0,4a & + 0,05b & + 0,3c & = & 0 \\ 0,1a & - 0,2b & + 0,2c & = & 0 \\ 0,3a & + 0,15b & - 0,5c & = & 0 \end{alignat*}$.
Das Gleichungssystem hat übrigens unendlich viele Lösungen, da die Zeilen nicht linear unabhängig sind. Addiert man die zweite und dritte Zeile, so ergibt sich das Negative der ersten Zeile. Wir können also lediglich eine Lösung herausbekommen, die von einem Parameter abhängig ist.
Subtrahieren wir das Dreifache der zweiten Zeile von der dritten Zeile, so ergibt sich
$ 0,75b - 1,1c = 0$ und daraus $b=\frac{22}{15}c$.
Einsetzen dieser Information in die zweite Gleichung ergibt
$ 0,1a - \frac{7}{75}c$ und damit $a=\frac{14}{15}c$. Der allgemeine Fixvektor lautet also $\vec v = \begin{pmatrix} \frac{14}{15}c \\ \frac{22}{15}c \\ c \end{pmatrix}$.
Den zu unserem Zustandsvektor $\vec {v_0} = \begin{pmatrix} 150 \\ 240 \\ 120 \end{pmatrix} $ gehörenden Fixvektor bekommen wir, indem wir die Informationen aus $\vec {v_0}$ als weitere Gleichung dazu nehmen. Es gilt ja $a+b+c = 150+240+120 = 510$ und damit auch $\frac{14}{15}c+\frac{22}{15}c+c=510$. Hieraus ergibt sich $c=150$ und damit für den Fixvektor $\vec {v_F} = \begin{pmatrix} 140 \\ 220 \\150 \end{pmatrix}$.
Das bedeutet, wenn sich in Station A 140 Fahrzeuge, bei B 220 und C 150 Fahrzeuge befinden, bleibt dieser Zustand die kommenden Tage ebenso bestehen!
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